Тэарэма Нётэр

Тэарэма Эмі Нётэр сцвярджае, што кожнай неперарыўнай сіметрыі фізічнай сістэмы адпавядае некаторы закон захавання.

Так, закон захавання энергіі адпавядае аднароднасці часу,

закон захавання імпульсу — аднароднасці прасторы,

закон захавання моманту імпульсу — ізатрапіі прасторы,

закон захавання электрычнага зараду — калібровачнай сіметрыі і г. д.

Тэарэма звычайна фармулюецца для сістэм, якія валодаюць функцыяналам дзеяння, і выражае сабой інварыянтнасць лагранжыяна адносна некаторай неперарыўнай групы пераўтварэнняў.

Тэарэма ўстаноўлена ў працах навукоўцаў Гётынгенскай школы Д. Гільберта, Ф. Клейна і Э. Нётэр. У найбольш распаўсюджанай фармулёўцы была даказана Эмі Нётэр ў 1918 годзе.

Фармулёўка

Класічная механіка

Кожнай аднапараметрычнай групе дыфеамарфізмаў $g^s(q_i)$, якія захоўваюць функцыю Лагранжа, адпавядае першы інтэграл сістэмы, роўны

$I=\sum _{i=1}^n(\frac{d}{ds}{g}^s(q_i))\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$

У тэрмінах інфінітэзімальных пераўтварэнняў, хай інфінітэзімальнае пераўтварэнне каардынат мае выгляд

$g^s(\overrightarrow{q})={\overrightarrow{q}}_0+s\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t)$

і функцыя Лагранжа $L(q,\dot{q},t)$ інварыянтная адносна гэтых пераўтварэнняў, гэта значыць

$\frac{d}{ds}L({\overrightarrow{q}}_0+s\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t),\dot{{\overrightarrow{q}}_0}+s\dot{\overrightarrow{\psi }}(\overrightarrow{q},t),t)=0$

Тады ў сістэмы існуе першы інтэграл, роўны

$I=(\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t);\frac{\partial L}{\partial \dot{\overrightarrow{q}}})=\sum _{i=1}^n{\psi }_i(\overrightarrow{q},t)\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}.$

Тэарэму можна абагульніць на выпадак пераўтварэнняў, якія закранаюць таксама і час, калі прадставіць яе рух як працэс, што залежыць ад некаторага параметра $\tau$, прычым у працэсе руху $t=\tau$. Тады з пераўтварэнняў

$g^s(\overrightarrow{q})={\overrightarrow{q}}_0+s\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t)$

$g^s(t)=t_0+s\xi (\overrightarrow{q},t)$

вынікае першы інтэграл

$I=\xi L+(\overrightarrow{\psi }-\xi \dot{\overrightarrow{q}};\frac{\partial L}{\partial \dot{\overrightarrow{q}}})$

Тэорыя поля

Тэарэма Нётэр дапускае прамое абагульненне на выпадкі сістэм з бесканечным лікам ступеней свабоды, прыкладам якіх з’яўляюцца гравітацыйнае і электрамагнітнае поле. А менавіта, няхай функцыя Лагранжа сістэмы залежыць ад $n$ патэнцыялаў, якія залежаць, у сваю чаргу, ад $k$ каардынат. Функцыянал дзеяння будзе мець выгляд

$S=\int L(A^i,{\partial }_{\mu }{A}^i,x^{\mu })d\mathrm{\Omega },i=1,\dots ,n,\mu =1,\dots ,k,d\mathrm{\Omega }=d{x}^1\dots d{x}^k.$

Няхай аднапараметрычная група $g^s$ дыфеамарфізмаў прасторы патэнцыялаў захоўвае функцыю Лагранжа, тады захоўваецца вектар

$J^{\mu }=\left(\frac{d}{ds}{g}^s{A}^i\right)\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{A}^i)},$

званы вектарам патоку Нётэр. Па індэксах, якія паўтараюцца, падразумяваецца падсумоўванне, ${\partial }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}$. Сэнс захавання вектара патоку Нётэр ў тым, што

${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0,$

таму паток $J$ праз любую замкнёную паверхню ў прасторы каардынат роўны 0. У прыватнасці, калі вылучыць сярод каардынат адну, званую часам, і разгледзець гіперплоскасці пастаяннага часу, то паток $J$ праз такую гіперплоскасць пастаянны ў часе, пры ўмове досыць хуткага змяншэння поля на бесканечнасці і некампактнай гіперпаверхні, каб паток вектара праз бакавую мяжу вобласці прасторы паміж дзвюма гіперпаверхнямі быў роўны 0. У класічнай тэорыі поля такой уласцівасцю валодае, напрыклад, тэнзар энергіі-імпульсу для электрамагнітнага поля. У вакууме лагранжыян поля не залежыць яўна ад каардынат, таму паяўляецца велічыня, якая захоўваецца і звязваецца з патокам энергіі-імпульсу.

Дыферэнцыяльныя ўраўненні

Хай маецца варыяцыйная задача з функцыяналам дзеяння $S=\int L(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\dots )d𝒙$. Тут $L$ — лагранжыян, $x$ — незалежныя зменныя, $u$ — залежныя зменныя, гэта значыць функцыі ад $x$. $L$ можа залежаць таксама і ад вытворных $u$ па $x$, не абавязкова толькі першага парадку.

Варыяцыйная задача для такога функцыянала прыводзіць да дыферэнцыяльных ураўненняў Эйлера — Лагранжа, якія можна запісаць у выглядзе

${\mathrm{E}}_{\mathrm{\alpha }}(L)=0,\alpha =1\dots q,$

дзе $\mathrm{E}$ — аператары Эйлера-Лагранжа:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{\alpha }}=\frac{\partial }{\partial u_{\alpha }}-\sum _{i=1}^p\frac{d}{d{x}_i}\frac{\partial }{\partial u_{x_i}^{\alpha }}+\dots ,$

$u_{x_i}^{\alpha }$ — вытворная функцыі $u^{\alpha }$ па зменнай $x_i$. Шматкроп’е азначае, што калі $L$ залежыць ад вытворных парадку вышэй першага, то трэба дадаць адпаведныя складнікі ў $\mathrm{E}$. У кампактным запісе ${\mathrm{E}}_{\mathrm{\alpha }}=\sum _J(-D{)}_J\frac{\partial }{\partial u_J^{\alpha }}$, дзе $J$ — мультыіндэкс. Сумаванне вядзецца па ўсіх складніках такіх, што вытворная $u_J^{\alpha }$ ўваходзіць у $L$.

Тэарэма Нётэр звязвае так званыя варыяцыйныя сіметрыі функцыянала $S$ з законамі захавання, якія будуць выконвацца на рашэннях ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Законы захавання

Закон захавання для сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў — гэта выраз выгляду

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=0,$

які справядліў на рашэннях гэтай сістэмы, г. зн. такі, што калі падставіць у яго гэтыя дыферэнцыяльныя ўраўненні, атрымаецца тоеснасць. У дадзеным выпадку разглядаюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні Эйлера — Лагранжа. Тут $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}$ — поўная дывергенцыя (дывергенцыя з поўнымі вытворнымі) па $x$. $\overrightarrow{P}$ — гладкія функцыі $u$, $x$ і вытворных $u$ па $x$.

Трывіяльнымі законамі захавання называюцца законы захавання,

• для якіх $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=0$ само па сабе з’яўляецца тоеснасцю без уліку якіх-небудзь дыферэнцыяльных ураўненняў;
• або для якіх $\overrightarrow{P}$ ператвараецца ў 0 адразу пры падстаноўцы дыферэнцыяльных ураўненняў, без вылічэння дывергенцыі (захоўваецца тоесны нуль на рашэннях);
• або для якіх $\overrightarrow{P}$ ёсць лінейная камбінацыя папярэдніх тыпаў.

Калі для двух законаў захавання з функцыямі $\overrightarrow{P}$ і $\overrightarrow{R}$ рознасць $\overrightarrow{P}-\overrightarrow{R}$ дае трывіяльны закон захавання, такія два закона захавання называюцца эквівалентнымі.

Кожны закон захавання эквівалентны закону захавання ў характарыстычнай форме — гэта значыць такому, для якога

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{Q}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Delta }},$

дзе $\mathrm{\Delta }$ — выразы, якія ўваходзяць у вызначэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў: $\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}=0$. Для апісанага выпадку ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }=E_{\alpha }(L)$ і

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=\sum _{\alpha }{Q}_{\alpha }{E}_{\alpha }(L).$

$Q_{\alpha }$ залежаць ад $u$, $x$ і вытворных $u$ па $x$ і называюцца характарыстыкамі закона захавання.

Варыяцыйныя сіметрыі

Хай маецца абагульненае вектарная поле

$\overrightarrow{v}=\sum _{i=1}^p{\xi }^i\frac{\partial }{\partial x^i}+\sum _{\alpha =1}^q{\phi }_{\alpha }\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}.$

«Абагульненае» разумеецца ў тым сэнсе, што $\xi$ і $\phi$ могуць залежаць не толькі ад $u$ і $x$, але і ад вытворных $u$ па $x$.

Азначэнне: $\overrightarrow{v}$ называецца варыяцыйнай сіметрыяй функцыянала $S$, калі існуе набор функцый $\overrightarrow{\mathrm{B}}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\dots )$ такі, што

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}(L)+L\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{\xi }=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{\mathrm{B}}.$

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}$ — працяг $\overrightarrow{v}$. Працяг ўлічвае, што дзеянне $\overrightarrow{v}$ на $u$ і $x$ выклікае таксама інфінітэзімальную змену вытворных, і задаецца формуламі

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\sum _{\alpha ,J}{\phi }_{\alpha }^J\frac{\partial }{\partial u_J^{\alpha }},{\phi }_{\alpha }^J=D_J({\phi }_{\alpha }-\sum _i{\xi }^i{u}_i^{\alpha }).$

У формуле для працягу неабходна браць, акрамя $\overrightarrow{v}$, складнікі з такімі $\partial /\partial u_J^{\alpha }$, для якіх $u_J^{\alpha }$ ўваходзяць у $L$ або, у агульным выпадку, у той выраз, на які працяг дзейнічае.

Сэнс вызначэння варыяцыйнай сіметрыі заключаецца ў тым, што $\overrightarrow{v}$ — гэта інфінітэзімальныя пераўтварэнні, якія ў першым парадку мяняюць функцыянал $S$ такім чынам, што ўраўненні Эйлера — Лагранжа пераўтвараюцца ў эквівалентныя. Справядлівая

тэарэма: калі $\overrightarrow{v}$ з’яўляецца варыяцыйнай сіметрыяй, то $\overrightarrow{v}$ з’яўляецца (абагульненай) сіметрыяй ураўненняў Эйлера — Лагранжа:

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}{\mathrm{E}}_{\alpha }(L){|}_{\overrightarrow{\mathrm{E}}(L)=0}=0.$

Гэта формула азначае, што інфінітэзімальныя змены выразаў ${\mathrm{E}}_{\alpha }(L)$, запісаныя тут у выглядзе $\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}{\mathrm{E}}_{\alpha }(L)$, ператвараюцца ў 0 на рашэннях.

Характарыстыкі вектарных палёў

Набор функцый $Q_{\alpha }={\phi }_{\alpha }-\sum _i{\xi }^i{u}_i^{\alpha }$ (у абазначэннях, дадзеных вышэй) завецца характарыстыкай вектарнага поля $\overrightarrow{v}$. Замест $\overrightarrow{v}$ можна браць вектарнае поле

${\overrightarrow{v}}_Q=\sum _{\alpha }{Q}_{\alpha }\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }},$

якое называецца эвалюцыйным прадстаўніком $\overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{v}$ і ${\overrightarrow{v}}_Q$ вызначаюць па сутнасці адну і тую ж сіметрыю, таму, калі вядомыя характарыстыкі $Q_{\alpha }$, можна лічыць, што тым самым зададзена і сіметрыя. Працяг ${\overrightarrow{v}}_Q$ вызначаецца аналагічна працягу $\overrightarrow{v}$, але фармальна прасцей, бо не трэба асобна ўлічваць ўклад ад $\xi$.

Тэарэма Нётэр ўстанаўлівае сувязь паміж характарыстыкамі законаў захавання і характарыстыкамі вектарных палёў.

Тэарэма Нётэр

Абагульненае вектарнае поле $\overrightarrow{v}$ вызначае групу сіметрыі функцыянала $S$ у тым і толькі ў тым выпадку, калі яго характарыстыка $\overrightarrow{Q}$ з’яўляецца характарыстыкай закона захавання $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=0$ для адпаведных ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Законы захавання

У класічнай механіцы законы захавання энергіі, імпульсу і моманту імпульсу выводзяцца з аднароднасці/ізатропнасці лагранжыяна сістэмы — лагранжыян (функцыя Лагранжа) не мяняецца з часам сам па сабе і не змяняецца пераносам або паваротам сістэмы ў прасторы. Па сутнасці, гэта азначае тое, што пры разглядзе нейкай замкнёнай у лабараторыі сістэмы будуць атрыманы адны і тыя ж вынікі незалежна ад размяшчэння лабараторыі і часу правядзення эксперыменту. Іншыя сіметрыі лагранжыяна сістэмы, калі яны ёсць, ці адпавядаюць іншым велічыням, што захоўваюцца ў дадзенай сістэме (інтэграле руху); напрыклад, сіметрыя лагранжыяна гравітацыйнай і кулонаўскай задачы двух цел прыводзіць да захавання не толькі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу, але і вектара Лапласа — Рунге — Ленца.

Літаратура

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — Шаблон:М.: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
• Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — Шаблон:М.: Наука, 280 с., 1983 г.

Спасылкі

• Пераклад артыкула Нётэр на англійскую
• Артыкул пра Тэарэму Нётэр, by John Baez Шаблон:Ref-en
• E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers
• Тэарэма Нётэр на MathPages. Шаблон:Ref-en
• Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. Шаблон:Ref-en
• Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.