Задача двух цел

У класічнай механіцы, задача двух цел заключаецца ў тым, каб вызначыць рух двух кропкавых часціц, якія ўзаемадзейнічаюць толькі адна з адною. Распаўсюджанымі прыкладамі задачы з'яўляюцца спадарожнік, які рухаецца вакол планеты, а таксама планета, якая рухаецца вакол зоркі, дзве зоркі, якія абарачаюцца вакол агульнага цэнтра мас (падвойная зорка), і класічная мадэль электрона, які рухаецца вакол атамнага ядра.

Задачу двух цел можна прадставіць як дзве незалежныя задачы аднаго цела, дзе разглядаецца рух адной часціцы ў вонкавым патэнцыяльным полі. Многія задачы з адным целам можна развязаць дакладна, таму адпаведную задачу з двума целамі таксама можна развязаць. Але задачу з трыма целамі (а тым больш задачу N цел пры N > 3) за выключэннем асобных выпадкаў дакладна развязаць немагчыма.

Два цела з аднолькавай масай, якія рухаюцца вакол агульнага цэнтра мас па эліптычных арбітах.

Два цела з невялікай розніцай у масах рухаюцца па кругавых арбітах вакол агульнага цэнтра мас. Гэты асобы тып арбіты падобны да сістэмы Плутон - Харон.

Пастаноўка задачы

Няхай ${𝐱}_1$ і ${𝐱}_2$ радыус-вектары двух цел, а $m_1$ і $m_2$ іх масы. Наша мэта: вызначыць траекторыю ${𝐱}_1(t)$ і ${𝐱}_2(t)$ для любога часу $t$, пры зададзеных пачатковых каардынатах

${𝐱}_1(t=0),$ ${𝐱}_2(t=0)$

і хуткасцях

${\dot{𝐱}}_1(t=0),$ ${\dot{𝐱}}_2(t=0)$.

Другі закон Ньютана ў дачыненні да дадзенай сістэмы сцвярджае, што

${𝐅}_{12}({𝐱}_1,{𝐱}_2)=m_1{\ddot{𝐱}}_1(1)$

${𝐅}_{21}({𝐱}_1,{𝐱}_2)=m_2{\ddot{𝐱}}_2(2)$

дзе

${𝐅}_{12}$ — сіла, якая дзейнічае на першае цела з-за ўзаемадзеяннем з другім целам,

${𝐅}_{21}$ — сіла, якая дзейнічае на другое цела з боку першага.

Складаючы і адымаючы гэтыя два ўраўненні, можна раздзяліць адну задачу на дзве задачы з адным целам, якія можна рашыць незалежна. "Складанне" раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да раўнання, якое апісвае рух цэнтра мас. У адрозненне ад гэтага, "адыманне" раўнання (2) ад раўнання (1) прыводзіць да раўнання, якое апісвае, як вектар $𝐫\equiv {𝐱}_1-{𝐱}_2$ паміж масамі змяняецца з часам. Рашэнне гэтых незалежных задач можа дапамагчы ў знаходжанні траекторый ${𝐱}_1(t)$ и ${𝐱}_2(t)$.

Рух цэнтра мас (першая задача)

Складанне раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да роўнасці

$m_1{\ddot{𝐱}}_1+m_2{\ddot{𝐱}}_2=(m_1+m_2){\ddot{𝐱}}_{cm}={𝐅}_{12}+{𝐅}_{21}=0,$

дзе мы выкарысталі трэці закон Ньютана ${𝐅}_{12}=-{𝐅}_{21}$, і дзе

${𝐱}_{cm}\equiv \frac{m_1{𝐱}_1+m_2{𝐱}_2}{m_1+m_2}$

становішча цэнтра мас сістэмы. У выніку раўнанне прыме выгляд

${\ddot{𝐱}}_{cm}=0.$

Яно паказвае, што хуткасць ${\dot{𝐱}}_{cm}$ цэнтра мас нязменная. Адсюль вынікае, што поўны імпульс $m_1{\dot{𝐱}}_1+m_2{\dot{𝐱}}_2$ таксама захоўваецца. Становішча і хуткасць цэнтра мас можна атрымаць для любога моманту часу.

Адносны рух (другая задача)

Адымаючы раўнанне (2) ад раўнання (1) і пераўтвараючы яго, прыходзім да раўнання

${\ddot{𝐱}}_1-{\ddot{𝐱}}_2=(\frac{{𝐅}_{12}}{m_1}-\frac{{𝐅}_{21}}{m_2})=(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}){𝐅}_{12},$

дзе мы зноў выкарысталі трэці закон Ньютана ${𝐅}_{12}=-{𝐅}_{21}$ і $𝐫$ (азначаны вышэй) - вектар адноснага зрушэння, накіраваны ад другога цела да першага.

Сіла паміж двума целамі павінна быць функцыяй толькі $𝐫$, а не абсалютных радыус-вектараў ${𝐱}_1$ і ${𝐱}_2$; у адваротным выпадку задача не была б сіметрычнай адносна пераносу ў прасторы і часе, а гэта раўназначна таму, што законы фізікі мяняліся б ад кропкі да кропкі. Такім чынам можна запісаць:

$\mu \ddot{𝐫}={𝐅}_{12}({𝐱}_1,{𝐱}_2)=𝐅(𝐫),$

дзе $\mu$ -прыведзеная маса

$\mu =\frac{1}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}}=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}.$

Як толькі мы знойдзем рашэнне для ${𝐱}_{cm}(t)$ і $𝐫(t),$ першапачатковыя траекторыі можна запісаць у выглядзе

${𝐱}_1(t)={𝐱}_{cm}(t)+\frac{m_2}{m_1+m_2}𝐫(t);$

${𝐱}_2(t)={𝐱}_{cm}(t)-\frac{m_1}{m_1+m_2}𝐫(t)$

як можа быць паказана падстаноўкай ў ўраўненні для ${𝐱}_{cm}(t)$ і $𝐫(t)$.

Рашэнне задачы двух цел

Згодна з трэцім законам Ньютана сілы, з якімі целы дзейнічаюць адно на адно, роўныя па велічыні і процілеглыя па напрамку. Такім чынам, для задачы двух цел можна запісаць

$m_1{\ddot{𝐫}}_1+m_2{\ddot{𝐫}}_2=0.$

Праінтэграваўшы гэта раўнанне два разы, атрымаем

$m_1{\dot{𝐫}}_1+m_2{\dot{𝐫}}_2=𝐚;$

$m_1{𝐫}_1+m_2{𝐫}_2=𝐚t+𝐛,$

дзе a і b – некаторыя вектары.

Абазначыўшы праз r становішча (радыус-вектар) цэнтра цяжару двух цел і M - іх агульную масу:

$M=m_1+m_2;$

$M𝐫=m_1{𝐫}_1+m_2{𝐫}_2,$

атрымаем

$M\dot{𝐫}=𝐚,$

гэта значыць наступнае: цэнтр мас сістэмы рухаецца з пастаяннай хуткасцю.

Запішам сілы, якія дзейнічаюць на кожнае з цел, наступным чынам

${\ddot{𝐫}}_1=G{m}_2\frac{𝐫}{r^3};{\ddot{𝐫}}_2=-G{m}_1\frac{𝐫}{r^3},$     где     $𝐫={𝐫}_2-{𝐫}_1.$

Адымаючы другое раўнанне ад першага, атрымаем

$\ddot{𝐫}=-\frac{\mu 𝐫}{r^3},$     где     $\mu =G(m_1+m_2).(1)$

Вектарна памнажаючы апошняе раўнанне на r і інтэгруючы, атрымаем

$𝐫\times \ddot{𝐫}=0;$

$𝐫\times \dot{𝐫}=𝐡.$

Пастаянны вектар h, які з'яўляецца пастаяннай інтэгравання, называецца кінэтычным момантам сістэмы. Узаемны рух цел адбываецца ў плоскасці, перпендыкулярнай гэтаму вектару. Увядзём сістэму цыліндрычных каардынат r,?, z. Адзінкавыя вектары ўздоўж радыяльнай, трансверсальнай і вертыкальнай восі абазначым як i, j і k. Праекцыі хуткасці на радыяльную і трансверсальную восі складуць

${\dot{𝐫}}_r=𝐢\dot{r};{\dot{𝐫}}_{\varphi }=𝐣r\dot{\varphi },\dot{𝐫}=𝐢\dot{r}+𝐣r\dot{\varphi }.$

Тады

$𝐫\times \dot{𝐫}=𝐡;$

$𝐢r\times (𝐢\dot{r}+𝐣r\dot{\varphi })=𝐤h;$

$𝐢r\times 𝐣r\dot{\varphi }=𝐤h;$

$𝐤r^2\dot{\varphi }=𝐤h;$

$r^2\dot{\varphi }=h.$

У левай частцы апошняга выразу стаіць падвоеная плошча трохвугольніка, які апісваецца радыус-вектарам r за адзінку часу. Такім чынам, гэтыя суадносіны з'яўляюцца матэматычным запісам другога закона Кеплера.

Раўнанне (1) памнажаем скалярна на хуткасць і інтэгруем. Атрымаем

$\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{r}=C.$

Апошні стасунак з'яўляецца выражэннем закону захавання механічнай энергіі ў сістэме.

Рух двух цел у плоскасці

Цікава, што рух двух цел заўсёды адбываецца ў плоскасці. Вызначым імпульс $𝐩=\mu \dot{𝐫}$ і момант імпульсу

$𝐋=𝐫\times 𝐩$

Хуткасць змянення моманту імпульсу роўная моманту сілы $𝐍$

$\frac{d𝐋}{dt}=\dot{𝐫}\times \mu \dot{𝐫}+𝐫\times \mu \ddot{𝐫}=𝐫\times 𝐅=𝐍,$

але законы руху Ньютана выконваюцца для ўсіх фізічных сіл, і кажуць, што сіла, якая дзейнічае паміж двума часціцамі (матэрыяльнымі кропкамі), накіравана па лініі, якая злучае іх, гэта значыць $𝐅||𝐫.$ Адсюль $𝐫\times 𝐅=0$ і момант імпульсу захоўваецца. Тады вектар зрушэння $𝐫$ і хуткасць яго змянення $\dot{𝐫}$ ляжаць у плоскасці, перпендыкулярнай да пастаяннага вектара $𝐋$.

Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласці

Часта бывае зручна перайсці ў палярныя каардынаты, бо рух адбываецца ў плоскасці і для многіх фізічных задач сіла $𝐅(𝐫)$ ёсць функцыяй радыуса $r.$ А раз r-кампанента паскарэння раўняецца $\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2,$ ураўненне для r-кампаненты вектара зрушэння $\mu \ddot{𝐫}=𝐅(r)\equiv F(r)$ можна перапісаць у выглядзе

$\mu \frac{d^{2}r}{d{t}^2}-\mu r{\omega }^2=\mu \frac{d^{2}r}{d{t}^2}-\frac{L^2}{\mu r^3}=F(r),$

дзе $\omega \equiv \dot{\theta }$ і момант імпульсу $L=\mu r^2\omega$ захоўваецца. Захаванне вуглавога моманту дазваляе знайсці рашэнне для траекторыі $r(\theta )$, выкарыстоўваючы замену зменных. Пераходзячы ад $t$ да $\theta$

$\frac{d}{dt}=\frac{L}{\mu r^2}\frac{d}{d\theta }$

атрымаем ўраўненне руху

$\frac{L}{r^2}\frac{d}{d\theta }\left(\frac{L}{\mu r^2}\frac{dr}{d\theta }\right)-\frac{L^2}{\mu r^3}=F(r)$

Гэтае ураўненне становіцца квазілінейным пры замене зменных $u\equiv \frac{1}{r}$ і дамнажэнне абедзвюх частак ўраўнення на $\frac{\mu r^2}{L^2}=\frac{\mu }{L^2{u}^2}$

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=-\frac{\mu }{L^2{u}^2}F(1/u)$

Прымяненне

Для сіл $F$, адваротна прапарцыйных квадрату адлегласці, такіх як гравітацыя або электрастатыка ў класічнай фізіцы, атрымаем

$F=\frac{\alpha }{r^2}=\alpha u^2$

для некаторых канстант $\alpha$, ўраўненне для траекторый становіцца лінейным

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=\frac{\alpha \mu }{L^2}$

Рашэнне гэтага ўраўнення

$u(\theta )\equiv \frac{1}{r(\theta )}=\frac{\alpha \mu }{L^2}+A\cos (\theta -{\theta }_0),$

дзе $A>0$ і ${\theta }_0$ - пастаянныя. Гэтае рашэнне паказвае, што арбіта ўяўляе сабой канічнае сячэнне, г.зн. эліпс, гіпербалу або парабалу, у залежнасці ад таго $A$ меншая за выраз $\frac{\alpha \mu }{L^2}$, большая ці роўная яму.

Задача двух цел у АТА

Нармальная арбіта любога цела, захопленага прыцягненнем іншага цела, уяўляе сабой эліпс або акружнасць - іменна такія арбіты мы назіраем у Сонечнай сістэме. Аднак агульная тэорыя адноснасці сцвярджае, што ў наваколлі вельмі масіўных цел - там, дзе прастора аказваецца моцна скрыўленая дзякуючы наяўнасці каласальнага гравітацыйнага поля спектр магчымых стабільных арбіт значна пашыраецца. У падобных умовах фізічныя аб'екты пачынаюць паводзіць сябе вельмі дзіўна. Напрыклад, цела можа падляцець да чорнай дзіркі па крутой парабале, зрабіць вакол яе некалькі імклівых кароткіх віткоў, а затым зноў закласці выцягнутую пятлю - і гэтак далей.

Прыклад

Любая класічная сістэма, якая складаецца з двух часціц, па азначэнню задача двух цел. У многіх выпадках, аднак, адно цела шмат цяжэйшае за другое, як напрыклад у сістэме Зямлі і Сонца. У такіх выпадках больш цяжкая часціца выконвае ролю цэнтра мас і задача зводзіцца да задачы аб руху аднаго цела ў патэнцыяле другога.. Пры гэтым варта не губляць з ўвазе, што з'яўляецца рызыка страты патрэбнай дакладнасці разлікаў пры злоўжыванні гэтым спрашчэннем. У прыватнасці, знаходжанне месца цэнтра кручэння ў больш масіўным целе расплывісте, у рэаліях яшчэ патрэбен ўлік іншых целаў і палёў. Патрэбен папярэдні аналіз, асабліва пры разліку устояных і стацыянарных арбіт: шматразовае кручэнне непазбежна назапасіць недакладнасці да непрымальнай велічыні памылкі.

Гл. таксама

• Законы Кеплера
• Задача Бертрана
• Задача трох цел
• Гравітацыйная задача N цел

Літаратура

• Курс тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца
• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9