Закон захавання энергіі

Шаблон:Гл. таксама Закон захавання энергіі, або закон захавання і пераўтварэння энергіі — асноўны агульны закон прыроды, згодна з якім, энергія любой замкнёнай сістэмы пры ўсіх з’явах і працэсах у ёй, застаецца нязменнай (захоўваецца). Энергія пры гэтым толькі пераўтвараецца з аднаго віду ў другі і пераразмяркоўваецца паміж часткамі сістэмы.

С фундаментальнага пункту погляду, згодна з тэарэмай Нётэр, закон захавання энергіі — вынік аднароднасці часу, то-бок незалежнасці законаў фізікі ад моманту часу, у які сістэма разглядаецца. У гэтым сэнсе закон захавання энергіі з’яўляецца ўсеагульным, г.зн. уласцівым сістэмам самай рознай фізічнай прыроды. Аднак пэўны выгляд гэтага закона можа істотна адрознівацца ў разнастайных адмысловых выпадках.

У розных раздзелах фізікі па гістарычных прычынах закон захавання энергіі быў адкрыт незалежна, таму ўводзіліся розныя віды энергіі. І толькі адносна нядаўна навука даказала, что многія з гэтых відаў энергіі сутнасна тоесныя між сабой, як напрыклад, кінетычная і цеплавая энергіі. Фармулюючы закон, кажуць, што магчымы пераход энергіі аднаго віду ў другі, але поўная энергія сістэмы, роўная суме асобных відаў энергіі, захоўваецца. З прычыны ўмоўнасці выдзялення асобных відаў энергіі такі падзел на віды не заўсёды адназначны.

Амаль кожны раздзел фізікі мае сваю фармулёўку закона захавання энергіі. Напрыклад, у класічнай механіцы быў сфармуляваны закон захавання механічнай энергіі, у тэрмадынаміцы — першы пачатак тэрмадынамікі, а ў электрадынаміцы — тэарэма Пойнтынга.

На матэматычны погляд закон захавання энергіі раўназначны сцвярджэнню, што сістэма дыферэнцыяльных ураўненняў, якія апісваюць дынаміку пэўнай фізічнай сістэмы, мае першы інтэграл руху, звязаны з сіметрычнасцю ўраўненняў адносна зруху па часе.

Адмысловыя выпадкі закону захавання энергіі

Класічная механіка

Шаблон:Галоўны артыкул У галілеевай механіцы закон захавання энергіі гістарычна мае адмысловую форму: так званы закон захавання механічнай энергіі, які гучыць наступным чынам^[1]: Шаблон:Тэарэма Могуць адбывацца толькі пераўтварэнні патэнцыяльнай энергіі ў кінетычную і наадварот, але поўны запас энергіі сістэмы змяніцца не можа.

Заўвага: умова адсутнасці сіл рассейвання (напрыклад, трэння, вязкасці) істотная, бо пры іх наяўнасці механічная энергія пераходзіць у іншыя, немеханічныя, формы (напрыклад, у цеплавую энергію).

Абазначым праз Шаблон:Math кінетычную энергію сістэмы, а праз Шаблон:Math — патэнцыяльную. Тады закон захавання механічнай энергіі прымае выгляд:

E = K + U = c o n s t .

Тэрмадынаміка

Шаблон:Галоўны артыкул

У тэрмадынаміцы закон захавання энергіі быў адкрыт у выглядзе першага пачатку тэрмадынамікі, які гучыць так^[2]: Шаблон:Тэарэма

Няхай Шаблон:Math абазначае цеплыню, перададзеную сістэме, Шаблон:Math — змяненне ўнутранай энергіі, а праз Шаблон:Math абазначана вонкавая работа, здзейсненая сістэмай. Тады першы пачатак тэрмадынамікі можна запісаць у выглядзе:

Q = Δ U + A .

Гідрадынаміка

Шаблон:Галоўны артыкул

У гідрадынаміцы ідэальнай вадкасці закон захавання энергіі фармулюецца ў выглядзе ўраўнення Бернулі.

Няхай разглядаецца стацыянарнае цячэнне ідэальнай (невязкай) несціскальнай вадкасці ў гравітацыйным полі. Будзем таксама лічыць, што справядлівыя законы класічнай механікі. Тады ўздоўж кожнай лініі патоку наступная сума пастаянная^[3]:

\frac{v^{2}}{2} + g h + \frac{p}{ρ} = c o n s t,

дзе

ρ

— шчыльнасць вадкасці (аднолькавая для ўсяго патоку, бо вадкасць несціскальная),

v

— скорасць элемента патоку,

h

— вышыня (адносная), на якой знаходзіцца разглядаемы элемент вадкасці,

p

— ціск у пункце прасторы, дзе знаходзіцца цэнтр масы разглядаемага элемента вадкасці,

g

— паскарэнне свабоднага падзення.

Заўвага: для розных ліній патоку значэнні гэтай сумы могуць адрознівацца.

Электрадынаміка

Шаблон:Галоўны артыкул

У электрадынаміцы закон захавання энергіі фармулюецца ў выглядзе тэарэмы Умава-Пойнтынга^[4] (часам яе называюць тэарэмай Пойнтынга).

У гэтым раздзеле выкарыстоўваецца гаўсава сістэма адзінак.

Няхай Шаблон:Math — удзельная ўнутраная энергія (або ўнутраная энергія адзінкі аб’ёму) асяроддзя ў наваколлі пэўнага пункта. Пад велічынёй Шаблон:Math будзем разумець шчыльнасць усяе ўнутранай энергіі, а не толькі яе электрамагнітную частку. Тады тэарэма Умава-Пойнтынга ў дыферэнцыяльнай форме выглядае так^[5]:

\frac{\partial u}{\partial t} + div 𝐒 = 0,

дзе Шаблон:Math — так званы вектар Пойнтынга, які азначаюць наступным чынам:

𝐒 = \frac{c}{4 π} [𝐄 \times 𝐇],

𝐄

— напружанасць электрычнага поля,

𝐇

— напружанасць магнітнага поля,

c

— скорасць святла.

Тэарэма Умава-Пойнтынга ў інтэгральнай форме:

\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} u d V = \oint_{\partial V} 𝐒 d 𝐚,

дзе $V$ — пэўны аб’ём, $\partial V$ — паверхня, якая абмяжоўвае гэты аб’ём, $d 𝐚$ — вектар элемента паверхні $\partial V,$ накіраваны па нармалі ўнутр.

Такім чынам, Шаблон:Тэарэма

Заўвага: у падручніках, фармулюючы тэарэму Умава-Пойнтынга, у велічыню Шаблон:Math часта ўключаюць толькі электрамагнітную энергію, што прыводзіць да з’яўлення дадатковага складніка ў правай частцы. Таму трэба ўважліва глядзець, як у падручніку азначаюць велічыню Шаблон:Math.

Спецыяльная тэорыя адноснасці

Шаблон:Галоўны артыкул Шаблон:Гл. таксама Шаблон:Гл. таксама

Няхай выбрана нейкая інерцыяльная сістэма адліку (ІСА), у якой знаходзіцца назіральнік. Каб пазбегнуць блытаніны з сістэмай адліку, пад целам будзем разумець пэўную сістэму аб’ектаў разам з узаемадзеяннем паміж імі. Свабодным целам будзем называць цела, на якое не ўздзейнічаюць вонкавыя сілы.

Поўнай энергіяй цела называецца велічыня:

E = m c^{2},

дзе $m$ — так званая маса руху цела, якую азначаюць як

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}},

m_{0}

— так званая маса спакою цела, г.зн. маса цела ў ІСА, у якой яно пакоіцца.

v

— скорасць руху цела як аднаго цэлага адносна ІСА назіральніка,

c

— скорасць святла.

Заўвага! Увогуле кажучы, маса спакою цела не роўная суме мас спакою яго складнікаў (састаўных частак)^[6]^[7].

Такім чынам, закон захавання энергіі гучыць так: Шаблон:Тэарэма

Згодна з пастулатамі СТА скорасць святла пастаянная і не залежыць ад выбару ІСА, таму гэта сцвержданне раўназначнае наступнаму: Шаблон:Тэарэма

Па сутнасці, гэта азначае, што маса і энергія эквівалентныя. З эквівалентнасці масы і энергіі ў СТА вынікаюць даволі цікавыя і незвычайныя праявы. Напрыклад, маса спакою цела пры яго награванні будзе павялічвацца^[7]. У выніку, чым гарачэйшае цела, тым яно цяжэйшае. Аднак на практыцы заўважыць цеплавы прырост масы даволі складана з прычыны яго нязначнасці.

Аднак неабходна адзначыць, што велічыня поўнай энергіі залежыць ад выбару ІСА назіральніка. Ад гэтай залежнасці можна пазбавіцца наступным чынам. У СТА мадэллю прасторы-часу служыць чатырохмерная прастора Мінкоўскага. Энергія і звычайны трохмерны імпульс аб’ядноўваюцца ў адзін 4-вектар энергіі-імпульсу (або проста чатырохімпульс):

(E / c, p_{x}, p_{y}, p_{z}) = (m c, m v_{x}, m v_{y}, m v_{z}),

дзе Шаблон:Math — трохмерны імпульс,

𝐩 = m 𝐯 = \frac{m_{0} 𝐯}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} .

Адной з галоўных уласцівасцей 4-імпульсу з’яўляецца нязменнасць яго модуля (у метрыцы Мінкоўскага) пры пераўтварэннях Лорэнца, якія адпавядаюць пераходам паміж рознымі ІСА. У выніку, законы захавання энергіі і імпульсу перастаюць быць незалежнымі і аб’ядноўваюцца ў адзін закон захавання 4-імпульсу:

Шаблон:Тэарэма

Матэматычна гэта выглядае так^[6]:

{(\frac{E}{c})}^{2} - p^{2} = (m_{0} c)^{2} = i n v,

дзе Шаблон:Math — маса спакою цела, Шаблон:Math — абсалютная велічыня трохмернага імпульсу цела.

Гісторыя