Тэарэма Пойнтынга

Тэарэма Пойнтынга (Шаблон:Lang-en) — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:

$\frac{\partial u}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒=-𝐉\cdot 𝐄$,

Дзе S — вектар Пойнтынга, J — шчыльнасць току і E — электрычнае поле. Шчыльнасць энергіі $u$ (${ϵ}_0$ — электрычная пастаянная, ${\mu }_0$ — магнітная пастаянная).

$u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0{𝐄}^2+\frac{{𝐁}^2}{{\mu }_0}).$

Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }udV+{\oint }_{\partial V}𝐒d𝐀=-\underset{V}{\int }𝐉\cdot 𝐄dV$,

дзе $\partial V$ — паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём $V$.

У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так ($u$ — шчыльнасці энергіі):

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+{\epsilon }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄=0$,

дзе ${\epsilon }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$ — шчыльнасць энергіі электрычнага поля, $\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ — шчыльнасць энергіі магнітнага поля і $𝐉\cdot 𝐄$ — магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб'ёму.

Вывад

Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε₀ і μ₀ прыпісаць ε і μ):

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на $𝐁$, атрымаем:

$𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=-𝐁\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на $𝐄$, атрымаем:

$𝐄\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=𝐄\cdot {\mu }_0𝐉+𝐄\cdot {ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

Адымаючы першае з другога, атрымаем:

$𝐄\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)-𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)={\mu }_0𝐄\cdot 𝐉+{ϵ}_0{\mu }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+𝐁\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Нарэшце:

$-\mathrm{\nabla }\cdot (𝐄\times 𝐁)={\mu }_0𝐄\cdot 𝐉+{ϵ}_0{\mu }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+𝐁\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Паколькі вектар Пойнтынга $𝐒$ вызначаецца як:

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁$

гэта раўнасільна:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+{ϵ}_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄=0.$

Абагульненне

Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы

$\frac{\partial }{\partial t}{u}_m(𝐫,t)+\mathrm{\nabla }\cdot {𝐒}_m(𝐫,t)=𝐉(𝐫,t)\cdot 𝐄(𝐫,t),$

дзе $u_m$ — кінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц $\alpha$

$u_m(𝐫,t)=\sum _{\alpha }\frac{m_{\alpha }}{2}{\dot{r}}_{\alpha }^2\delta (𝐫-{𝐫}_{\alpha }(t)),$

${𝐒}_{𝐦}$ — паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:

${𝐒}_m(𝐫,t)=\sum _{\alpha }\frac{m_{\alpha }}{2}{\dot{r}}_{\alpha }^2{\dot{𝐫}}_{\alpha }\delta (𝐫-{𝐫}_{\alpha }(t)).$

Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі

$\frac{\partial }{\partial t}(u_e+u_m)+\mathrm{\nabla }\cdot ({𝐒}_e+{𝐒}_m)=0,$

Альтэрнатыўныя формы

Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку $𝐒\propto 𝐄\times 𝐁$, можна выбраць форму Абрагама $𝐄\times 𝐇$, форму Мінкоўскага $𝐃\times 𝐁$, або якую-небудзь іншую.