Чатырохімпульс

Чатырохі́мпульс, 4-і́мпульс — 4-вектар энергіі-імпульсу, рэлятывісцкае абагульненне класічнага трохмернага вектара імпульсу (колькасці руху) на чатырохмерную прастору-час. Тры кампаненты класічнага вектара імпульсу $\overrightarrow{p}=(p_x,p_y,p_z)$ матэрыяльнай кропкі пры гэтым становяцца трыма прасторавымі кампанентамі вектара чатырохімпульсу. Часавай кампанентай вектара чатырохімпульсу пры гэтым з'яўляецца (з дакладнасцю да множніка) поўная энергія матэрыяльнай кропкі.

$p^{\mu }=\left(\begin{array}{c}{p}_0\\ p_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}E/c\\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}E/c\\ \overrightarrow{p}\end{array}\right).$

Чатырохімпульс карысны пры рэлятывісцкіх разліках, бо ён з'яўляецца каварыянтным вектарам Лорэнца (чатырохвектарам) і таму яго норма (у лорэнцавай метрыцы) інварыянтная пры пераходзе ў іншую інерцыяльную сістэму адліку (яго кампаненты пры гэтым змяняюцца ў адпаведнасці з пераўтварэннямі Лорэнца).

Квадрат чатырохімпульсу

4-імпульс і маса

Квадрат вектара чатырохімпульсу кропкавай часціцы з'яўляецца скалярным інварыянтам, роўным (з дакладнасцю да множніка $c^2$) квадрату масы часціцы:

$p^2=g_{\mu \nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }=m^2{c}^2,$

дзе c — скорасць святла, індэксы $\mu ,\nu =0,...,3;$ тут выкарыстана пагадненне аб сумаванні па паўторных індэксах.

Матрыца g, якая ўваходзіць у скалярны здабытак 4-вектара p самога на сябе, з'яўляецца метрычным тэнзарам прасторы-часу. У спецыяльнай тэорыі адноснасці выкарыстоўваецца метрыка Мінкоўскага, адмысловы від матрыцы $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }$, які адпавядае плоскай (няскрыўленай) прасторы-часу:

${\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right);$

у гэтым выпадку

$m^2{c}^2=\frac{E^2}{c^2}-|\overrightarrow{p}{|}^2.$

Такім чынам, у СТА маса часціцы не мяняецца пры лорэнавых пераўтварэннях. Модуль чатырохімпульсу $|p|=\sqrt{p^2}=mc$ для рэальных часціц заўсёды неадмоўны (г. зн. 4-імпульс заўсёды часападобен ці светлападобен; ён мог бы быць адмоўным для гіпатэтычных тахіёнаў, рушачых хутчэй за святло). Чатырохімпульс фатонаў і іншых бязмасавых часціц мае нулявы модуль, для масіўных часціц модуль дадатны. У залежнасці ад пагаднення аб сігнатуры, модуль 4-імпульсу можа быць вызначан з процілеглым знакам.

Сувязь з 4-скорасцю

Для масіўнае часціцы 4-імпульс ровен здабытку яе масы на чатырохскорасць

$p^{\mu }=m{U}^{\mu },$

дзе 4-скорасць ёсць вектар

$U^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }=\left(\begin{array}{c}{U}^0\\ U^1\\ U^2\\ U^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\gamma c\\ \gamma v^x\\ \gamma v^y\\ \gamma v^z\end{array}\right),$

а велічыня $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}}$ — гэта множнік Лорэнца і $d\tau$ — уласны час часціцы.

Кананічны імпульс у прасторы ў прысутнасці электрамагнітнага патэнцыялу

Для прымянення ў рэлятывісцкай квантавай механіцы мэтазгодна вызначыць «кананічны» чатырохімпульс P_μ, які прадстаўляе сабою суму чатырохімпульсу часціцы і здабытку яе электрычнага патэнцыялу на чатырохвектарны патэнцыял электрамагнітнага поля:

$P_{\mu }=p_{\mu }+q{A}_{\mu },$

дзе 4-патэнцыял ёсць вектар, састаўлены са скалярнага патэнцыялу $\phi$ (часавая кампанента) і 3-вектарнага патэнцыялу $\overrightarrow{A}$ (прасторавая кампанента):

$\left(\begin{array}{c}{A}_0\\ A_1\\ A_2\\ A_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\phi \\ -A_x\\ -A_y\\ -A_z\end{array}\right).$

Тым самым улічваюцца патэнцыяльная энергія зараджаных часціц у электрастатычным патэнцыяле і сіла Лорэнца, якая дзейнічае на рушачыя зараджаныя часціцы ў магнітным полі. Гэта дае магчымасць уключыць уздзеянне электрамагнітнага поля ва ўраўненне Шродзінгера.

Гл. таксама

• Інтэрвал
• Тэнзар энергіі-імпульсу

Літаратура

• Шаблон:Кніга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля