Тэарэма Ліувіля аб захаванні фазавага аб’ёму

Тэарэма Ліўвіля, названая ад імя французскага матэматыка Жазэфа Ліувіля, з'яўляецца адной з ключавых тэарэм у матэматычнай фізіцы, статыстычнай фізіцы і гамільтанавай механіцы. Тэарэма Ліувіля абвяшчае

Шаблон:Нп5 гамільтанавай сістэмы пастаянная ўздоўж любой траекторыі ў фазавай прасторы.

Тэарэма сцвярджае захаванне ў часе фазавага аб'ёму, або шчыльнасці імавернасці ў фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ў часе функцыі размеркавання (шчыльнасці імавернасці) гамільтанавай сістэмы ў $6N$-мернай фазавай прасторы ($N$ — колькасць часціц у сістэме). Разгледзім гамільтанаву сістэму з каардынатамі $q_i$ і спалучанымі імпульсамі $p_i$, дзе $i=1,\dots ,d$, $d=3N$. Тады размеркаванне ў фазавай прасторы $\rho (p_i,q_i)$ вызначае імавернасць $\rho (p,q){\mathrm{d}}^{d}q{\mathrm{d}}^{d}p$ таго, што сістэма будзе знаходзіцца ў элеменце аб'ёму ${\mathrm{d}}^{d}q{\mathrm{d}}^{d}p$ сваёй фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю $\rho (p_i,q_i;t)$ ў часе $t$ паводле правіла знаходжання поўнай вытворнай функцыі з улікам несціскаемасці патоку ў фазавай прасторы:

$\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^d(\frac{\partial \rho }{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}{q}_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial \rho }{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}{p}_i}{\mathrm{d}t})=0.$

Вытворныя фазавых каардынат па часе для гамільтанавых сістэм апісваюцца згодна з ураўненнямі Гамільтана:

${\dot{q}}_i\equiv \frac{\mathrm{d}{q}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_i},$

${\dot{p}}_i\equiv \frac{\mathrm{d}{p}_i}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.$

Просты доказ тэарэмы заключаецца ў назіранні, што эвалюцыя $\rho$ вызначаецца ўраўненнем неразрыўнасці:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }(\rho 𝐯)=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\rho \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐯+𝐯\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\rho =0,$

дзе $𝐯$ — скорасць перамяшчэння разглядаемага аб'ёму фазавай прасторы:

$\mathrm{\nabla }(\rho 𝐯)=\sum _{i=1}^d(\frac{\partial (\rho {\dot{q}}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial (\rho {\dot{p}}_i)}{\partial p_i})$

і заўвагай, што рознасць паміж гэтым выразам і ўраўненнем Ліувіля вызначаецца толькі складнікам, які апісвае дывергенцыю, а менавіта яе адсутнасць, што азначае адсутнасць крыніц або сцёкаў шчыльнасці імавернасці:

$\rho \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐯=\rho \sum _{i=1}^d(\frac{\partial {\dot{q}}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial {\dot{p}}_i}{\partial p_i})=\rho \sum _{i=1}^d(\frac{{\partial }^{2}H}{\partial q_i\partial p_i}-\frac{{\partial }^{2}H}{\partial p_i\partial q_i})=0,$

дзе $H$ — гамільтаніян, і былі выкарыстаны ўраўненні Гамільтана. Гэта можна прадставіць як рух праз фазавую прастору «патоку вадкасці» кропак сістэмы. Тэарэма азначае, што вытворная Лагранжа або субстанцыянальная вытворная шчыльнасці $d\rho /dt$ роўная нулю. Гэта вынікае з ураўнення неразрыўнасці, бо поле скарасцей $(\dot{p},\dot{q})$ у фазавай прасторы бездывергентнае, што ў сваю чаргу вынікае з гамільтанавых ураўненняў для кансерватыўных сістэм.

Геаметрычная інтэрпрэтацыя

Разгледзім траекторыю малой плямы (мноства кропак) у фазавай прасторы. Перамяшчаючыся ўздоўж мноства траекторый, пляма расцягваецца ў адной каардынаце, скажам — $p_i$ — але сціскаецца па іншай каардынаце $q_i$ так, што здабытак $\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{\Delta }{q}_i$ застаецца канстантай. Плошча плямы (фазавы аб'ём) не змяняецца.

Больш дакладна, фазавы аб'ём $\mathrm{\Gamma }$ захоўваецца пры зрухах часу. Калі

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }{d}^{d}q{d}^{d}p=C,$

і $\mathrm{\Gamma }(t)$ мноства кропак фазавай прасторы, у якое можа эвалюцыянаваць мноства $\mathrm{\Gamma }$ у момант часу $t$, тады

$\underset{\mathrm{\Gamma }(t)}{\int }{d}^{d}q{d}^{d}p=C,$

для ўсіх часоў $t$. Аб'ём фазавай прасторы гамільтанавай сістэмы захоўваецца, паколькі эвалюцыя ў часе ў гамільтанавай механіцы — гэта кананічнае пераўтварэнне, а ўсе кананічныя пераўтварэнні маюць адзінкавы якабіян.

Фізічная інтэрпрэтацыя

Чаканы поўны лік часціц — інтэграл па ўсёй фазавай прасторы ад функцыі размеркавання:

$N=\int d^{d}q{d}^{d}p\rho (p,q)$

(нарміровачны множнік апушчаны). У найпрасцейшым выпадку, калі часціца рухаецца ў эўклідавай прасторы ў полі патэнцыяльных сіл $𝐅$ з каардынатамі $𝐱$ і імпульсамі $𝐩$, тэарэму Ліувіля можна запісаць у выглядзе

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+𝐯\cdot {\mathrm{\nabla }}_{𝐱}\rho +\frac{𝐅}{m}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{𝐩}\rho =0,$

дзе $𝐯=\dot{𝐱}$ — скорасць. У фізіцы плазмы гэты выраз называецца Шаблон:Нп5 і выкарыстоўваецца, каб апісаць вялікую колькасць бессутыкальных часціц, якія рухаюцца ў Шаблон:Нп5 сіл $𝐅$.

У класічнай статыстычнай механіцы лік часціц $N$ вялікі, парадку ліку Авагадра. У стацыянарным выпадку $\partial \rho /\partial t=0$ можна знайсці шчыльнасць мікрастанаў, даступных у дадзеным статыстычным ансамблі. Для стацыянарных станаў функцыі размеркавання $\rho$ роўная любой функцыі гамільтаніяна $H$, напрыклад, у размеркаванні Максвела — Больцмана $\rho \propto e^{-H/kT}$, дзе $T$ — тэмпература, $k$ — пастаянная Больцмана.

Запіс праз дужку Пуасона

Выкарыстоўваючы дужку Пуасона, якая мае ў кананічных каардынатах $(q^i,p_j)$ выгляд

$\{A,B\}=\sum _{i=1}^N(-\frac{\partial A}{\partial q^i}\frac{\partial B}{\partial p_i}+\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q^i}),$

ураўненне Ліувіля для гамільтанавых сістэм набывае выгляд

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\{\rho ,H\}.$

Запіс з выкарыстаннем аператара Ліувіля

Пры дапамозе аператара Ліувіля

$i\hat{L}=\sum _{i=1}^d[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial }{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial }{\partial p_i}],$

для гамільтанавых сістэм ураўненне набывае выгляд

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+i\hat{L}\rho =0.$