Залатое сячэнне

Сістэма злічэння	Ацэнка ліку φ
Двайковая	1.1001111000110111011…
Дзесятковая	1.6180339887498948482…
Шаснаццаткавая	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Непарыўны дроб	1+11+11+11+11+⋱

Шаблон:Значэнні

Шаблон:Урэзка

Залатое сячэнне (залатая прапорцыя, дзяленне ў крайняй і сярэдняй адносіне, гарманічнае дзяленне) — адносіна дзвюх велічынь a і b, b > a, калі справядліва b/a = (a+b)/b. Лік, роўны адносіне b/a, звычайна абазначаецца грэчаскай літарай $φ$ , радзей — грэчаскай літарай $τ$ . З зыходнай роўнасці няцяжка атрымаць, што

φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .

Адваротны лік

\frac{1}{φ} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} .

Адсюль вынікае, што

\frac{1}{φ} = φ - 1 .

Для практычных мэт абмяжоўваюцца прыблізным значэннем $φ = 1, 618$ ці $φ = 1, 62$ . У працэнтным акругленым значэнні залатое сячэнне — гэта дзяленне якой-небудзь велічыні ў адносінах 62 % і 38 %.

Гістарычна першапачаткова залатым сячэннем называлася дзяленне адрэзка АВ кропкай С на дзве часткі (меншы адрэзак АС і большы адрэзак СВ), каб для даўжынь адрэзкаў было верна AC/CB = CB/AВ. Пазней гэта было распаўсюджана на адвольныя велічыні.

Лік $φ$ называецца таксама залатым лікам.

У дайшоўшай да нас антычнай літаратуры дзяленне адрэзка ў крайняй і сярэдняй адносіне (Шаблон:Lang-el2) упершыню сустракаецца ў «Пачатках» Еўкліда (каля 300 г. да н. э.), дзе яно прымяняецца для пабудовы правільнага пяцівугольніка.

Лука Пачолі, сучаснік і друг Леанарда да Вінчы, называў гэту адносіну «боскай прапорцыяй». Тэрмін «залатое сячэнне» (Шаблон:Lang-de) быў уведзены ва ўжытак Марцінам Омам ў 1835 годзе.

Залатое сячэнне мае мноства выдатных уласцівасцей, але, акрамя таго, яму прыпісваюць і многія выдуманыя ўласцівасці^[1]^[2]^[3].

Матэматычныя ўласцівасці

Адрэзаўшы квадрат ад прамавугольніка, пабудаванага па прынцыпе залатога сячэння, мы атрымліваем новы, паменшаны прамавугольнік з тымі ж адносінамі старон a/b=(a+b)/a

Лікава-алгебраічныя ўласцівасці

$φ$ — ірацыянальны алгебраічны лік, дадатнае рашэнне квадратнага ўраўнення
$x^{2} - x - 1 = 0,$

адкуль, у прыватнасці, вынікаюць суадносіны:

φ \cdot (φ - 1) = 1 .

$φ$ выражаецца праз значэнні трыганаметрычных функцый:
$φ = 2 \cos \frac{π}{5} = 2 \cos 3 6^{\circ} .$

$φ = 2 \sin (3 π / 10) = 2 \sin 5 4^{\circ} .$

$φ$ прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага ланцужка квадратных каранёў:
$φ = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}} .$

$φ$ прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага ланцуговага дробу
$φ = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}},$

падыходнымі дробамі якой служаць адносіны паслядоўных лікаў Фібаначы

\frac{F_{n + 1}}{F_{n}}

. Такім чынам,

φ = \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n + 1}}{F_{n}} .

Мера ірацыянальнасці $φ$ роўная 2.

Значэнні дробу пасля коскі для $φ$ , $\frac{1}{φ}$ і $φ^{2}$ у любой сістэме злічэння будуць роўныя^[4].

Геаметрычныя ўласцівасці

У правільнай пяціканцовай зорцы кожны адрэзак дзеліцца перасякаючым яго адрэзкам у залатым сячэнні (на прыведзеным малюнку адносіны чырвонага адрэзка да зялёнага, зялёнага да сіняга і сіняга да пурпурнага роўныя $φ$ . Акрамя таго, адносіна чырвонага адрэзка да адлегласці паміж суседнімі вяршынямі зоркі (якое роўна зялёнаму адрэзку), таксама роўная $φ$ ).

Адносіна дыяганалі правільнага пяцівугольніка да стараны роўна залатому сячэнню.
Пры дзяленні папалам вугла паміж дыяганаллю і меншай стараной прамавугольніка з адносінамі старон 1:2 атрымліваем лік
$\frac{1}{φ} = tg (\frac{arctg 2}{2}) .$

Геаметрычная пабудова

Залатое сячэнне адрэзка $A B$ можна пабудаваць наступным чынам: у пункце $B$ будуюць перпендыкуляр да $A B$ , адкладваюць на ім адрэзак $B C$ , роўны палавіне $A B$ , на адрэзку $A C$ адкладваюць адрэзак $C D$ , роўны $B C$ , і нарэшце, на адрэзку $A B$ адкладваюць адрэзак $A E$ , роўны $A D$ . Тады

φ = \frac{| A B |}{| A E |} = \frac{| A E |}{| E B |} .

Залатое сячэнне і гармонія ў мастацтве

Пад «правілам залатога сячэння» ў архітэктуры і мастацтве звычайна маюцца на ўвазе кампазіцыі, якія змяшчаюць прапорцыі, блізкія да залатога сячэння.

Некаторыя са сцвярджэнняў на карысць гіпотэзы ведання старажытнымі правіла залатога сячэння:

Прапорцыі піраміды Хеопса, храмаў, барэльефаў, прадметаў побыту і ўпрыгажэнняў з грабніцы Тутанхамона сведчаць, што егіпецкія майстры карысталіся суадносінамі залатога сячэння пры іх стварэнні.
Згодна з Ле Карбюзье, у рэльефе з храма фараона Сеці I у Абідасе прапорцыі фігур адпавядаюць залатому сячэнню. У фасадзе старажытнагрэчаскага храма Парфенона таксама прысутнічаюць залатыя прапорцыі. У цыркулі з старажытнарымскага горада Пампеі (музей у Неапалі) таксама закладзены прапорцыі залатога дзялення, і т. д.
Варта адзначыць, што сама дакладная прапорцыя з'яўляецца ідэальным эталонным значэннем. У прыродзе рэальныя суадносіны у біялагічных відаў, як правіла, трохі адрозніваюцца ад залатога сячэння, што выклікана прыстасаваннем да навакольнага асяроддзя ў працэсе жыцця. Прыкладам такіх «адхіленняў» можа служыць марская камбала.

Прыклады свядомага выкарыстання

Пачынаючы з Леанарда да Вінчы, многія мастакі свядома выкарыстоўвалі прапорцыі «залатога сячэння». Расійскі дойлід Жалтоўскі выкарыстоўваў залатое сячэнне ў сваіх праектах^[5]. Іаган Себасцьян Бах у сваёй інвенцыі E-dur № 6 BWV 792 выкарыстоўваў двухчасткавую форму, у якой суадносіны памераў частак адпавядаюць прапорцыям залатога сячэння. 1 частка — 17 тактаў, 2 частка — 24 такты. (Невялікія неадпаведнасці выраўноўваюцца за кошт ферматы ў 34 такце).

Геаметрыя плана грабніцы фараона Старажытнага Егіпта Менеса пабудавана з выкарыстаннем прапорцыі, якую мы цяпер звязваем з залатым сячэннем^[6].

Залатое сячэнне ў біялогіі і медыцыне

Залатое сячэнне ў прыродзе

Жывыя сістэмы таксама валодаюць уласцівасцямі, характэрнымі для «залатога сячэння». Напрыклад: прапорцыі цел, спіральныя структуры ці параметры біярытмаў^[7] і інш.

Гл. таксама

Зноскі

Шаблон:Reflist

Літаратура

Залатое сячэнне // Шаблон:Крыніцы/БелЭн С. 510.
Шаблон:Крыніцы/МатемЭнц
Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973
Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725-732.
Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С.156-192.
Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.

Спасылкі

В. С. Белнин, «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа» Шаблон:Архівавана
А. В. Радзюкевич, К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве.
А. В. Радзюкевич, Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечнения».
В. Лаврус, Золотое сечение
Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве Шаблон:Архівавана
Функция Фибоначчи в Wolfram alpha
Шаблон:MathWorld
Шаблон:OEIS2C

Шаблон:Лікі з уласнымі імёнамі Шаблон:Бібліяінфармацыя

↑ Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»
↑ Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number
↑ Devlin's Angle, The Myth That Will Not Go Away
↑ Шаблон:Cite web
↑ Золотой запас зодчества Шаблон:Архівавана
↑ Стеликов Н. Е. «Гармония древнеегипетской архитектуры.» Горки: БГСХА. 2009, 108 с.
↑ Цветков, В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. — Пущино: ПНЦ РАН, 1997. — 170 с.

[раздюкевич-1] Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»

[Livio-2] Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number

[myth-3] Devlin's Angle, The Myth That Will Not Go Away

[4] Шаблон:Cite web

[5] Золотой запас зодчества Шаблон:Архівавана

[6] Стеликов Н. Е. «Гармония древнеегипетской архитектуры.» Горки: БГСХА. 2009, 108 с.

[7] Цветков, В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. — Пущино: ПНЦ РАН, 1997. — 170 с.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Залатое сячэнне

Змест