Куб (алгебра)

Шаблон:Math, пры цэлых значэннях Шаблон:Math на адрэзку ад 1 да 25

У арыфметыцы і алгебры, куб ліку Шаблон:Math — гэта яго трэцяя ступень Шаблон:Math, г.зн. здабытак трох аднолькавых множнікаў, роўных ліку Шаблон:Math:

Шаблон:Math.

Куб ліку роўны здабытку самога ліку і яго квадрата:

Шаблон:Math.

Аперацыя ўзвядзення ў куб мае просты геаметрычны сэнс: куб ліку Шаблон:Math роўны аб'ёму геаметрычнага куба з рабром Шаблон:Math, адкуль і паходзіць назва самой арыфметычнай аперацыі. Адваротная аперацыя знаходжання ліку, чый куб роўны Шаблон:Math, называецца здабываннем кубічнага кораня з Шаблон:Math і вызначае рабро куба з аб'ёмам Шаблон:Math.

І куб, і кубічны корань з'яўляюцца няцотнымі функцыямі:

Шаблон:Math.

Куб ліку ці любога іншага матэматычнага выразу абазначаецца верхнім індэксам 3, напрыклад, Шаблон:Math ці Шаблон:Math.

Гісторыя

Вызначэнне кубоў вялікіх лікаў было распаўсюджана ў многіх старажытных цывілізацыях. У старававілонскі перыяд (20 — 16 стст. да н.э.) месапатамскія матэматыкі стварылі клінапісныя таблічкі з табліцамі для вылічэння кубоў і кубічных каранёў. Кубічныя ўраўненні былі вядомы старажытнагрэчаскаму матэматыку Дыяфанту. У 1-м ст. н.э. Герон Александрыйскі вынайшаў метад вылічэння кубічных каранёў. Метады рашэння кубічных ураўненняў і здабывання кубічных каранёў сустракаюцца ў «Матэматыцы ў дзевяці кнігах», кітайскім матэматычным тэксце, састаўленым каля 2-га ст. да н.э., з каментарыямі Лю Хуэя (3 ст. н.э.). Індыйскі матэматык Арыябхата напісаў тлумачэнне кубоў у сваёй працы Арыябхація. У 2010 годзе Альберта Цаноні знайшоў новы алгарытм вылічэння кубоў вялікіх цэлых лікаў, які ў пэўным дыяпазоне значэнняў скарэйшы чым узвядзенне ў квадрат і дамнажэнне.

Паслядоўнасць кубоў

Паслядоўнасць кубоў неадмоўных лікаў пачынаецца лікамі:

1³ = 1	11³ = 1331	21³ = 9261	31³ = Шаблон:Num	41³ = Шаблон:Num	51³ = Шаблон:Num
2³ = 8	12³ = 1728	22³ = Шаблон:Num	32³ = Шаблон:Num	42³ = Шаблон:Num	52³ = Шаблон:Num
3³ = 27	13³ = 2197	23³ = Шаблон:Num	33³ = Шаблон:Num	43³ = 79,507	53³ = 148,877
4³ = 64	14³ = 2744	24³ = Шаблон:Num	34³ = Шаблон:Num	44³ = Шаблон:Num	54³ = Шаблон:Num
5³ = 125	15³ = 3375	25³ = Шаблон:Num	35³ = Шаблон:Num	45³ = Шаблон:Num	55³ = Шаблон:Num
6³ = 216	16³ = 4096	26³ = Шаблон:Num	36³ = Шаблон:Num	46³ = Шаблон:Num	56³ = Шаблон:Num
7³ = 343	17³ = 4913	27³ = Шаблон:Num	37³ = Шаблон:Num	47³ = Шаблон:Num	57³ = Шаблон:Num
8³ = 512	18³ = 5832	28³ = Шаблон:Num	38³ = Шаблон:Num	48³ = Шаблон:Num	58³ = Шаблон:Num
9³ = 729	19³ = 6859	29³ = Шаблон:Num	39³ = Шаблон:Num	49³ = Шаблон:Num	59³ = Шаблон:Num
10³ = 1000	20³ = 8000	30³ = Шаблон:Num	40³ = Шаблон:Num	50³ = Шаблон:Num	60³ = Шаблон:Num

Сума кубоў паслядоўных цэлых лікаў

Сума кубоў першых $n$ дадатных натуральных лікаў вылічаецца па формуле:

$\sum _{i=1}^n{i}^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2.$

Вывад формулы

Наглядны доказ таго, што 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

Формулу сумы кубоў можна вывесці з дапамогай табліцы множання і формулы сумы арыфметычнай прагрэсіі. Разглядаючы ў якасці ілюстрацыі метаду дзве табліцы множання Шаблон:Math, правядзём разважанні для табліц памерам Шаблон:Math.

Табліца множання і кубы лікаў × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Табліца множання і арыфметычная прагрэсія × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Сума лікаў у k-ай (k = 1,2, …) выдзеленай вобласці першай табліцы:

$k^2+2k\sum _{l=1}^{k-1}l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3.$

А сума лікаў у k-ай (k = 1,2, …) выдзеленай вобласці другой табліцы, якія ўяўляюць сабой арыфметычную прагрэсію:

$k\sum _{l=1}^{n}l=k\frac{n(n+1)}{2}.$

Складваючы па ўсіх выдзеленых абласцях першай табліцы, атрымліваем такі ж лік, як і складваючы па ўсіх выдзеленых абласцях другой табліцы:

$\sum _{k=1}^n{k}^3=\sum _{k=1}^{n}k\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum _{k=1}^{n}k={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2.$

Геаметрычны сэнс

Куб ліку роўны аб'ёму куба з даўжынёй рабра, роўнай гэтаму ліку.

Дзесятковае разлажэнне

• У дзесятковым запісе куб можа заканчвацца на любую лічбу (у адрозненне ад квадрата)
• У дзесятковым запісе дзве апошнія лічбы куба могуць быць 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Залежнасць перадапошняй лічбы куба ад апошняй можна прадставіць у выглядзе наступнай табліцы:

апошняя лічба	перадапошняя лічба
0	0
5	2, 7
4, 8	цотная
2, 6	няцотная
1, 3, 7, 9	любая

Гл. таксама

• Кубічны корань — адваротная аперацыя адносна ўзвядзення ў куб.
• Квадрат (алгебра)
• Чацвёртая ступень
• Пятая ступень
• Шостая ступень
• Сёмая ступень
• Восьмая ступень

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld