Аб’яднанне мностваў

Аб’яднанне A і B

Аб’ядна́нне мно́стваў — бінарная аперацыя над мноствамі, вынікам якой ёсць мноства, якое складаецца з элементаў, што ўваходзяць хаця б у адно з гэтых мностваў. Аб’яднаннем мностваў называюць як саму аперацыю, так і мноства, што з’яўляецца яе вынікам.

Аперацыя аб’яднання мностваў абазначаецца знакам $\cup$.

Вызначэнні

Аб’яднанне двух мностваў

Няхай даны два мноствы $A$ і $B$. Тады іх аб’яднаннем называецца мноства, якое складаецца з элементаў, якія знаходзяцца ў $A$, у $B$, або ў абодвух мноствах адначасова:

$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.$

Аб’яднанне сямейства мностваў

Няхай дано сямейства мностваў $\{M_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}.$ Тады яго аб’яднаннем называецца мноства, якое складаецца з усіх элементаў усіх мностваў сямейства:

$\bigcup _{\alpha \in A}{M}_{\alpha }=\{x\mid \mathrm{\exists }\alpha \in A,x\in M_{\alpha }\}.$

Уласцівасці аб’яднання мностваў

• камутатыўнасць: $\mathrm{\forall }A,B:A\cup B=B\cup A$
• асацыятыўнасць: $\mathrm{\forall }A,B:(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
• аб’яднаннем мноства са сваім падмноствам ёсць гэтае мноства: $B\subseteq A\iff A\cup B=A$.

У прыватнасці,

• аб’яднаннем мноства з самім сабой ёсць самое гэтае мноства: $\mathrm{\forall }A:A\cup A=A$
• аб’яднаннем мноства з пустым мноствам ёсць самое гэтае мноства: $\mathrm{\forall }A:A\cup \varnothing =A$
• аб’яднаннем мноства з універсальным мноствам ёсць самое ўніверсальнае мноства: $\mathrm{\forall }A:A\cup U=U$

Асацыятыўнасць аперацыі аб’яднання мностваў дае магчымасць разглядаць аб’яднанне больш чым двух мностваў як адзіную аперацыю:

$\bigcup _{i=1}^n{A}_i=A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n$

Спасылкі

• Infinite Union and Intersection at ProvenMath Правілы Дэ Моргана, якія фармальна даказаны з аксіом тэорыі мностваў.