Біпалярная сістэма каардынат

Біпалярная сістэма каардынат

Біпалярныя каардынаты — артаганальная сістэма каардынат на плоскасці, заснаваная на кругах Апалонія. Для пераходу з біпалярных каардынат у дэкартавы каардынаты, служаць наступныя формулы:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{a\mathrm{s}\mathrm{h}\tau }{\mathrm{c}\mathrm{h}\tau -\cos \sigma }\\ y=\frac{a\sin \sigma }{\mathrm{c}\mathrm{h}\tau -\cos \sigma }\end{array}$

дзе $0⩽\sigma <\pi$, $-\mathrm{\infty }<\tau <\mathrm{\infty }$.

Каэфіцыенты Ламэ:

$L_{\tau }=L_{\sigma }=\frac{a^2}{(\mathrm{c}\mathrm{h}\tau -\cos \sigma {)}^2}.$

Аператар Лапласа ў біпалярных каардынатах:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{(\mathrm{c}\mathrm{h}\tau -\cos \sigma {)}^2}{a^2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\tau }^2}).$

У прасторы біпалярныя каардынаты абагульняюцца бісферычнымі.