Закон Гука

Шаблон:Універсальная картка Шаблон:Механіка суцэльных асяроддзяў Зако́н Гу́ка — ураўненне тэорыі пругкасці, якое злучае напружанне і дэфармацыю пругкага асяроддзя. Адкрыты ў 1660 годзе англійскім вучоным Робертам Гукам (Хукам) (Шаблон:Lang-en)^[1]. Паколькі закон Гука запісваецца для малых напружанняў і дэфармацый, ён мае выгляд простай прапарцыйнасці.

У славеснай форме закон гучыць наступным чынам:

Сіла пругкасці, якая ўзнікае ў целе пры яго дэфармацыі, прама прапарцыйна велічыні гэтай дэфармацыі.

Для тонкага расцяжнага стрыжня закон Гука мае выгляд:

F = k Δ l .

Тут $F$ — сіла, якой расцягваюць (сціскаюць) стрыжань, $Δ l$ — абсалютнае падаўжэнне (сціск) стрыжня, а $k$ — каэфіцыент пругкасці (ці цвёрдасці).

Каэфіцыент пругкасці залежыць як ад уласцівасцей матэрыялу, так і ад памераў стрыжня. Можна вылучыць залежнасць ад памераў стрыжня (плошчы папярочнага сячэння $S$ і даўжыні $L$ ) яўна, запісаўшы каэфіцыент пругкасці як

k = \frac{E S}{L} .

Велічыня $E$ завецца модулем пругкасці першага роду ці модулем Юнга і з'яўляецца механічнай характарыстыкай матэрыялу.

Калі ўвесці адноснае падаўжэнне

ε = \frac{Δ l}{L}

і звычайнае напружанне ў папярочным сячэнні

σ = \frac{F}{S},

то закон Гука ў адносных адзінках запішацца як

σ = E ε .

У такой форме ён справядлівы для любых малых аб'ёмаў матэрыялу.

Таксама пры разліку прамых стрыжняў ужываюць запіс закона Гука ў адноснай форме

Δ l = \frac{F L}{E S} .

Варта мець на ўвазе, што закон Гука выконваецца толькі пры малых дэфармацыях. Пры перавышэнні мяжы прапарцыйнасці сувязь паміж напружаннямі і дэфармацыямі становіцца нелінейнай. Для шматлікіх асяроддзяў закон Гука непрыдатны нават пры малых дэфармацыях.

Абагульнены закон Гука

У агульным выпадку напружання і дэфармацыі апісваюцца тэнзарамі другога рангу ў трохмернай прасторы (маюць па 9 кампанент). Тэнзар пругкіх пастаянных, які злучае іх, з'яўляецца тэнзарам чацвёртага рангу $C_{i j k l}$ і ўтрымлівае 81 каэфіцыент. З прычыны сіметрыі тэнзара $C_{i j k l}$ , а таксама тэнзараў напружанняў і дэфармацый, незалежнымі з'яўляюцца толькі 21 пастаянная. Закон Гука выглядае наступным чынам:

σ_{i j} = \sum_{k l} C_{i j k l} \cdot ε_{k l},

дзе $σ_{i j}$ — тэнзар напружанняў, $ε_{k l},$ — тэнзар дэфармацый. Для ізатропнага матэрыялу тэнзар $C_{i j k l}$ утрымлівае толькі два незалежныя каэфіцыенты.