Закон радыеактыўнага распаду

Шаблон:Ядзерная фізіка Шаблон:Асноўны артыкул Закон радыеактыўнага распаду — фізічны закон, які апісвае залежнасць інтэнсіўнасці радыеактыўнага распаду ад часу і колькасці радыеактыўных атамаў ва ўзоры. Адкрыты Фрэдэрыкам Содзі і Эрнэстам Рэзерфордам, кожны з якіх пасля быў узнагароджаны Нобелеўскай прэміяй. Яны выявілі яго эксперыментальным шляхам і апублікавалі ў 1903 годзе ў працах «Параўнальнае вывучэнне радыеактыўнасці радыя і торыя» і «Радыеактыўнае ператварэнне», сфармуляваўшы наступным чынам:

Шаблон:Пачатак цытаты Ва ўсіх выпадках, калі аддзялялі адзін з радыеактыўных прадуктаў і даследавалі яго актыўнасць незалежна ад радыеактыўнасці рэчыва, з якога ён утварыўся, было выяўлена, што актыўнасць пры ўсіх даследаваннях памяншаецца з часам па закону геаметрычнай прагрэсіі. Шаблон:Канец цытаты з чаго з дапамогай тэарэмы Бернулі навукоўцы зрабілі выснову: Шаблон:Пачатак цытаты Скорасць ператварэння ўвесь час прапарцыянальная колькасці сістэм, якія яшчэ не прайшлі цераз ператварэнне. Шаблон:Канец цытаты Існуе некалькі фармулёвак закона, напрыклад, у выглядзе дыферэнцыяльнага ўраўнення:

$\frac{dN}{dt}=-\lambda N,$

якое азначае, што лік распадаў Шаблон:Math, якія адбыліся за кароткі інтэрвал часу Шаблон:Math, прапарцыянальны ліку атамаў Шаблон:Math ва ўзоры.

Экспаненцыяльны закон

Экспаненцыяльная крывая радыеактыўнага распаду: па восі абсцыс («восі x») — час, па восі ардынат («восі y») — колькасць ядраў, якія не распаліся, або скорасць распаду ў адзінку часу.

У паказаным вышэй матэматычным выразе $\lambda$ — пастаянная распаду, якая характарызуе імавернасць радыеактыўнага распаду за адзінку часу і мае размернасць с⁻¹. Знак мінус паказвае на змяншэнне колькасці радыеактыўных ядраў з часам.

Рашэнне гэтага дыферэнцыяльнага ўраўнення мае выгляд:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t},$

дзе $N_0$ — пачатковая колькасць атамаў, гэта значыць лік атамаў для $t=0.$

Такім чынам, лік радыеактыўных атамаў памяншаецца з часам па экспанентным законе. Скорасць распаду, гэта значыць лік распадаў ў адзінку часу $\mathrm{I}(t)=-\frac{dN}{dt}$, таксама падае экспаненцыяльна. Дыферэнцыруючы выраз для залежнасці ліку атамаў ад часу, атрымліваем:

$\mathrm{I}(t)=-\frac{d}{dt}(N_0{e}^{-\lambda t})=\lambda N_0{e}^{-\lambda t}={\mathrm{I}}_0{e}^{-\lambda t},$

дзе ${\mathrm{I}}_0$ — скорасць распаду ў пачатковы момант часу $t=0.$

Такім чынам, залежнасць ад часу колькасці радыеактыўных атамаў, якія не распаліся, і скорасці распаду апісваецца адной і той жа пастаяннай $\lambda$

Характарыстыкі распаду

Акрамя канстанты распаду $\lambda ,$ радыеактыўны распад характарызуюць яшчэ дзвюма вытворнымі ад яе канстантамі, разгледжанымі ніжэй.

Сярэдні час жыцця

Шаблон:Асноўны артыкул З закона радыеактыўнага распаду можна атрымаць выраз для сярэдняга часу жыцця радыеактыўнага атама. Лік атамаў, у момант часу $t$ перанесшых распад у межах інтэрвалу $dt$раўняецца $-dN,$ а іх час жыцця $-tdN.$

Сярэдні час жыцця атрымліваем інтэграваннем па ўсім перыядзе распаду:

$\tau =-\frac{1}{N_0}\underset{N_0}{\overset{0}{\int }}tdN=\lambda \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t{e}^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }.$

Падстаўляючы гэтую велічыню ў экспанентныя часавыя залежнасці для $N(t)$і $I(t),$ лёгка бачыць, што за час $\tau$ лік радыеактыўных атамаў і актыўнасць узору (колькасць распадаў у секунду) памяншаюцца ў $e$ раз.

Перыяд паўраспаду

Шаблон:Асноўны артыкул На практыцы атрымала большае распаўсюджанне іншая часавая характарыстыка — перыяд паўраспаду $T_{1/2},$ роўны часу, на працягу якога лік радыеактыўных атамаў або актыўнасць узору памяншаюцца ў 2 разы.

Сувязь гэтай велічыні з пастаяннай распаду можна вывесці з суадносін

$\frac{N(T_{1/2})}{N_0}=e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2,$

адкуль:

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }=\tau \ln 2\approx 0,693\tau .$