Зваротнае ўраўненне

Зваро́тнае ўраўне́нне — алгебраічнае ўраўненне віду:

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0=0,$

дзе каэфіцыенты, якія стаяць на сіметрычных адносна сярэдзіны месцах, роўныя, г.зн.

$a_{n-k}=a_k$  пры Шаблон:Math.

Ураўненне чацвёртай ступені

Разгледзім зваротнае ўраўненне чацвёртай ступені віду

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0,$

дзе Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math — некаторыя лікі, прычым Шаблон:Math.

Алгарытм рашэння такіх ураўненняў:

• падзяліць левую і правую часткі ўраўнення на $x^2$. Пры гэтым рашэнні не губляюцца, бо Шаблон:Math не з'яўляецца коранем зыходнага ўраўнення пры Шаблон:Math;
• групоўкай прывесці атрыманае ўраўненне да выгляду

  $a(x^2+\frac{1}{x^2})+b(x+\frac{1}{x})+c=0;$

• увесці новую пераменную

  $t=x+\frac{1}{x},$

  тады выконваецца

  $t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2},$  г.зн.  $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2;$

• у новых пераменных ураўненне будзе квадратным:

  $a{t}^2+bt+c-2a=0;$

• рашыць яго адносна Шаблон:Math, вярнуцца да зыходнай пераменнай.

Ураўненні, падобныя на зваротныя

Калі для каэфіцыентаў ураўнення

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$

выконваецца роўнасць

$\frac{e}{a}={\left(\frac{d}{b}\right)}^2,$

тады такое ўраўненне можна звесці да квадратнага ўраўнення адносна Шаблон:Math падстаноўкай

$t=bx+\frac{d}{x}.$

Адсюль, напрыклад, вынікае, што ўраўненне

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2-bx+a=0$

зводзіцца да квадратнага адносна Шаблон:Math падстаноўкай

$t=x-\frac{1}{x}.$

Ураўненні пятай і вышэйшых ступеней

Для зваротных ураўненняў вышэйшых ступеней справядлівыя наступныя сцвярджэнні:

• Зваротнае ўраўненне цотнай ступені зводзіцца да ўраўнення ўдвая меншай ступені падстаноўкай

  $x+\frac{1}{x}=t.$

• Зваротнае ўраўненне няцотнай ступені абавязкова мае корань Шаблон:Math і пасля дзялення мнагачлена ў левай частцы гэтага ўраўнення на двухчлен Шаблон:Math, прыводзіцца да зваротнага ўраўнення цотнай ступені.

Гл. таксама

• Біквадратнае ўраўненне
• Паліндром

Спасылкі

• The Fundamental Theorem for Palindromic PolynomialsШаблон:Ref-en на MathPages