Канічнае сячэнне

Канічныя сячэнні. А) парабала В) эліпс і акружнасць С) гіпербала

Канічныя сячэнні — лініі, якія атрымліваюцца пры перасячэнні прамога кругавога конуса пласкасцямі, якія не праходзяць праз вяршыню гэтага конуса. Канічнымі сячэннямі з’яўляюцца:

• эліпс — атрымліваецца, калі сякучая плоскасць перасякае ўсе ўтваральная конуса ў пунктах адной яго поласці. Акружнасць з’яўляецца асобным выпадкам эліпса і атрымліваецца, калі сякучая плоскасць перпендакулярна восі конуса.

• парабала — сякучая плоскасць паралельна адной з датычных пласкасцей конуса.

• гіпербала — сякучая плоскасць перасякае абедзве поласці конуса.

Вызначэнне праз эксцэнтрысітэт

Эліпс (e=1/2), парабала (e=1) and гіпербала (e=2) з фокусам F і дырэктрысай.

Канічнае сячэнне — геаметрычнае месца пунктаў, для кожнага з якіх адносіна яга адлегласцей да фокуса і да дырэктрысы раўно аднаму ліку e, які называецца эксцэнтрысітэтам. Пры гэтым калі 0 < e < 1 атрымліваецца эліпс; e = 1 — парабала; e > 1 — гіпербала. (Праз такое вызначэнне нельга атрымаць акружнасць, бо яна не мае дырэктрысы).

Каардынатнае прадстаўленне

Канічныя сячэнні з’яўляюцца лініямі другога парадку (але не ўсе лініі другога парадку з’яўляюцца канічнымі сячэннямі), і ў дэкартавых каардынатах на плоскасці іх можна апісаць квадратным мнагачленам:

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ (пры гэтым павінна выконвацца няроўнасць $|A|+|B|+|C|\ne 0$),

калі:

• $B^2-4AC<0$, то канічнае сячэнне з’яўляецца эліпсам,
  • калі ж яшчэ выконваецца і ўмова $A=C$ and $B=0$ — акружнасцю,
• $B^2-4AC=0$ — парабала,
• $B^2-4AC>0$ — гіпербала.