Мера Жардана

Ме́ра Жарда́на (або Ме́ра Пеа́на-Жарда́на) — адзін са спосабаў фармалізацыі паняцця памеру (даўжыні, плошчы і [[Аб’ём|Шаблон:Math-мернага аб’ёму]]) у Шаблон:Math-мернай еўклідавай прасторы.

Пабудова

Мноства вымернае па Жардану, калі ўнутраная мера Жардана раўняецца вонкавай меры Жардана.

Мера Жардана $m\mathrm{\Delta }$ паралелепіпеда $\mathrm{\Delta }=\prod _{i=1}^n[a_i,b_i]$ у ${ℝ}^n$ вызначаецца як здабытак

$m\mathrm{\Delta }=\prod _{i=1}^n(b_i-a_i).$

Для абмежаванага мноства $E\subset {ℝ}^n$ вызначаюцца:

• вонкавая (знешняя) мера Жардана

  $m_{e}E=\inf \sum _{k=1}^{N}m{\mathrm{\Delta }}_k,\bigcup _k{\mathrm{\Delta }}_k\supset E$

• унутраная мера Жардана

  $m_{i}E=\sup \sum _{k=1}^{N}m{\mathrm{\Delta }}_k,\bigcup _k{\mathrm{\Delta }}_k\subset E,{\mathrm{\Delta }}_k\cap {\mathrm{\Delta }}_m=\varnothing ,$ калі $k\ne m,$

дзе ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_N$ — паралелепіпеды апісанага вышэй выгляду.

Мноства $E$ называецца вымерным па Жардану (квадравальным пры Шаблон:Math, кубавальным пры Шаблон:Math), калі $m_{e}E=m_{i}E.$ У гэтым выпадку мера Жардана роўная $mE=m_{e}E=m_{i}E.$

Уласцівасці

• Мера Жардана застаецца нязменнаю адносна рухаў еўклідавай прасторы.
• Абмежаванае мноства $E\subset {ℝ}^n$ вымернае па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае нулявую меру Жардана .
  • У прыватнасці, усе мноствы, чыя мяжа складаецца з канечнага ліку гладкіх крывых і пунктаў, вымерныя па Жардану. Тым не менш, існуюць мноствы, абмежаваныя простай замкнутай крывой Жардана, не вымерныя па Жардану.
• Вонкавая мера Жардана адна і тая ж для $E$ і $\overline{E}$ (замыкання мноства $E$) і раўняецца меры Барэля $\overline{E}$.
• Вымерныя па Жардану мноствы ўтвараюць колца, на яком мера Жардана канечная адытыўная функцыя.

Гісторыя

Такое паняцце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пазней паняцце было абагульнена Лебегам на шырэйшы клас мностваў.

Прыклад мноства, невымернага па Жардану

Разглядзім меру Жардана $m,$ вызначаную на ${ℝ}^2$ і няхай $A=\{(x,y)\in {ℝ}^2:0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$ — мноства пунктаў адзінкавага квадрата. Няхай $X=A\cap {\mathbb{Q}}^2$ — мноства ўсіх пунктаў мноства $A$ з рацыянальнымі каардынатамі, тады $X$ — невымернае па Жардану мноства, бо

$m_{e}X=1,m_{i}X=0,m_{e}X\ne m_{i}X,$

г. зн. вонкавая і ўнутраная мера Жардана не супадаюць.

Гл. таксама

• Мера мноства
• Мера Лебега
• Мера Хаусдорфа
• Шаблон:Не перакладзена

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
• Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
• Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;