Мера Хаусдорфа

У матэматыцы, меры Хаусдорфа — сямейства вонкавых мер, прапанаваных Феліксам Хаўсдорфам. Меры Хаусдорфа кожнаму падмноству прасторы ${ℝ}^n$ (ці больш агульна, любой метрычнай прасторы) ставяць у адпаведнасць некаторы неадмоўны лік або дадатную бесканечнасць. Нуль-мерная Хаусдорфава мера раўняецца колькасці пунктаў у мностве (калі мноства канечнае) ці +∞ (калі мноства бесканечнае). Аднамерная мера Хаусдорфа простай крывой у ${ℝ}^n$ раўняецца даўжыні гэтай крывой. Гэтак жа двухмерная Хаусдорфава мера вымернага мноства ў ${ℝ}^2$ прапарцыянальная плошчы мноства. Адсюль відаць, што паняцце меры Хаусдорфа абагульняе паняцці колькасці (або магутнасці канечнага мноства), даўжыні, плошчы і аб'ёму. На самай справе існуюць Шаблон:Math-мерныя меры Хаусдорфа для любога Шаблон:Math (не абавязкова цэлага). Гэтыя меры ляжаць у аснове геаметрычнай тэорыі меры. Яны таксама натуральным чынам узнікаюць у гарманічным аналізе і тэорыі патэнцыялу.

Азначэнне

Няхай $(X,\rho )$ — метрычная прастора. Дыяметр мноства $U\subset X$ абазначым наступным чынам:

$\mathrm{diam}U:=\sup \{\rho (x,y):x,y\in U\}.$

Прымем па азначэнню:

$\mathrm{diam}\varnothing :=0.$

Няхай $S$ — адвольнае падмноства $X,$ а $\delta >0$ — рэчаісны лік. Вызначым функцыю

$H_{\delta }^d(S):=\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{diam}{U}_i{)}^d:\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_i\supseteq S,\mathrm{diam}{U}_i<\delta \}.$

Тут дакладная ніжняя мяжа бярэцца па ўсіх злічальных пакрыццях мноства $S$ мноствамі $U_i\subset X$ з дыяметрамі, меншымі за Шаблон:Math.

Варта заўважыць, што $H_{\delta }^d(S)$ манатонна спадае пры нарастанні Шаблон:Math, бо чым большае Шаблон:Math — тым больш магчымых пакрыццяў мноства, што, відавочна, можа толькі панізіць дакладную ніжнюю мяжу. Адсюль вынікае, што граніца

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta \to 0}{H}_{\delta }^d(S)$

існуе, але можа раўняцца дадатнай бесканечнасці.

Няхай

$H^d(S):=\underset{\delta >0}{\sup }{H}_{\delta }^d(S)=\underset{\delta \to 0}{\lim }{H}_{\delta }^d(S).$

Функцыя $H^d(S)$ з'яўляецца вонкаваю мерай (а дакладней, метрычнай вонкавай мерай) і называецца Шаблон:Math-мернаю мерай Хаусдорфа мноства Шаблон:Math.

Па агульнай тэорыі, яе абмежаванне на σ-алгебру вымерных па Каратэадоры мностваў з'яўляецца мерай. Дзякуючы ўласцівасцям метрычнай вонкавае меры, усе барэлеўскія падмноствы прасторы Шаблон:Math вымерныя адносна меры Шаблон:Math.

У вышэйпрыведзеным азначэнні мноствы ў пакрыццях могуць быць адвольнымі. Нягледзячы на гэта, можна разглядаць пакрыцці ці аднымі толькі адкрытымі мноствамі, ці толькі замкнутымі, у выніку гэта ўсё роўна прывядзе да той жа меры, хоць прыбліжэнні $H_{\delta }^d(S)$ пры гэтым могуць адрознівацца. Калі $X$ — унармаваная прастора, можна разглядаць пакрыцці толькі выпуклымі мноствамі. Але калі браць пакрыцці толькі шарамі, у выніку атрымаецца іншая мера.

Уласцівасці Хаусдорфавых мер

Варта заўважыць, што калі Шаблон:Math — дадатны цэлы лік, Шаблон:Math-мерная Хаусдорфава мера на ${ℝ}^d$ ёсць проста змененая ў маштабе Шаблон:Math-мерная мера Лебега ${\lambda }_d$, якая ўнармавана так, што Лебегава мера адзінкавага куба Шаблон:Math роўная 1. На самай справе, для любога Барэлеўскага мноства Шаблон:Math:

${\lambda }_d(E)=2^{-d}{\alpha }_d{H}^d(E)$

дзе Шаблон:Math — аб'ём адзінкавага [[Гіперсфера|Шаблон:Math-шара]]; яго можна вылічыць праз гама-функцыю Эйлера

${\alpha }_d=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}{)}^d}{\mathrm{\Gamma }(\frac{d}{2}+1)}=\frac{{\pi }^{d/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{d}{2}+1)}.$

Заўвага. Некаторыя аўтары ў якасці азначэння меры Хаусдорфа прымаюць іншае, якое трохі адрозніваецца ад прыведзенага вышэй, розніца заключаецца ў том, што яе нармуюць так, каб Хаусдорфава Шаблон:Math-мерная мера ў выпадку еўклідавай прасторы дакладна супадала з Лебегавай мерай.

Сувязь з размернасцю Хаусдорфа

Існуе шэраг раўназначных азначэнняў размернасці Хаусдорфа. Напрыклад, такое:

${\dim }_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}(S)=\inf \{d\ge 0:H^d(S)=0\}=\sup \{d\ge 0:H^d(S)>0\},$

дзе прынята па азначэнню

$\inf \varnothing :=\mathrm{\infty }.$

Абагульненні

У геаметрычнай тэорыі меры і сумежных раздзелах для вымярэння памеру падмноства метрычнай прасторы з мерай часта выкарыстоўваецца т.зв. аб'ём Мінкоўскага. Для зручных (г.зн. не вельмі складаных і мудрагелістых) абсягаў у еўклідавай прасторы гэтыя два паняцці памеру супадаюць з дакладнасцю да пастаяннага множніка, які залежыць ад дамоўленасцей. А іменна, кажуць, што падмноства прасторы ${ℝ}^n$ называецца Шаблон:Math-выпрастальным (квадравальным, кубавальным), калі яно з'яўляецца вобразам абмежаванага падмноства прасторы ${ℝ}^n$ пры Ліпшыцавым адлюстраванні. Калі Шаблон:Math, тады Шаблон:Math-мерны аб'ём Мінкоўскага замкнутага Шаблон:Math-выпрастальнага падмноства ў ${ℝ}^n$ раўняецца Шаблон:Math-мернай меры Хаусдорфа, дамножанай на $2^{-m}{\alpha }_m.$

У фрактальнай геаметрыі некаторыя фракталы з Хаусдорфавай размернасцю Шаблон:Math маюць нулявую або бесканечную Шаблон:Math-меру Хаусдорфа. Напрыклад, амаль напэўна траекторыя плоскага броўнаўскага руху мае размернасць Хаусдорфа 2, а яе двухмерная мера Хаусдорфа роўная нулю. Каб "вымераць" "памер" такіх мностваў, была прыдумана наступнае абагульненне паняцця Хаусдорфавай меры:

У азначэнні меры складнікі $|U_i{|}^d$ замяняюцца на $\varphi (U_i),$ дзе $\varphi$ — любая манатонна нарастаючая функцыя мноства, якая задавальняе ўмову $\varphi (\varnothing )=0.$

Вызначаная так мера называецца Хаусдорфавай мерай мноства $S$ з функцыяй размернасці $\varphi$, ці $\varphi$-Хаусдорфавай мераю. Можа здарыцца, што Шаблон:Math-мернае мноства $S$ будзе мець звычайную меру Хаусдорфа $H^d(S)=0,$ але пры адпаведным выбары функцыі $\varphi$ можна дабіцца выканання няроўнасці

$0<H^{\varphi }(S)<+\mathrm{\infty }.$

У якасці прыкладаў функцый размернасці можна прывесці такія:

$\varphi (t)=t^2\log \log \frac{1}{t}$

або

$\varphi (t)=t^2\log \frac{1}{t}\log \log \log \frac{1}{t}.$

Першая функцыя дае амаль напэўна дадатную і σ-канечную меру для броўнаўскай траекторыі ў ${ℝ}^n$ пры Шаблон:Math, а апошняя — пры Шаблон:Math.

Гл. таксама

• Размернасць Хаусдорфа
• Вонкавая мера
• Тэорыя меры
• Геаметрычная тэорыя меры

Літаратура

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Yan Kun (2007), Fractal Measure.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Кніга

Спасылкі

• Размернасць Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі Шаблон:Ref-en
• Мера Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі Шаблон:Ref-en