Набліжэнне эйканала

У тэарэтычнай фізіцы набліжэнне эйканала (грэчаск. Εἰκών- падабенства, значок ці выява, параўн. Ікона) ці эйканальное набліжэнне ёсць набліжаным метадам, карысным для рашэння ўраўненняў для рассеяння часціц і хваляў, якія сустракаюцца у оптыцы, сэйсмалогіі, квантавай механіцы, квантавай электрадынаміцы і разлажэнні па парцыяльных хвалях.

Якаснае апісанне

Галоўная перавага набліжэння эйканала палягае ў тым, што першапачатковыя ўраўненні зводзяцца да аднаго дыферэнцыяльнага ўраўнення з адной пераменнай. Гэтае скарачэнне да адной пераменнай з'яўляецца вынікам набліжэння прамой лініі (эйканальнага набліжэння), якое дазваляе выбраць прамую лінію ў якасці асаблівага накірунку.

Сувязь з набліжэннем ВКБ

Першыя крокі, звязаныя з набліжэннем эйканала у квантавай механіцы, вельмі цесна звязаныя з квазікласічным набліжэннем (ВКБ) для аднамерных хваляў. Метад ВКБ, як і набліжэнне эйканала, зводзіць ураўненні да аднаго дыферэнцыяльнага ўраўнення з адной пераменнай. Але складанасць набліжэння ВКБ складаецца ў том, што гэтая пераменная апісваецца траекторыяй часціцы, якая, у агульным выпадку з'яўляецца складанай.

Фармальнае апісанне

Выкарыстоўваючы набліжэнне ВКБ, можна запісаць хвалевую функцыю рассеянае часціцы ў тэрмінах дзеяння S:

$\mathrm{\Psi }=e^{iS/\hslash }$

Падстаўляючы хвалевую функцыю Ψ ва ўраўненне Шродзінгера без наяўнасці магнітнага поля, атрымліваем

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }=(E-V)\mathrm{\Psi }$

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2{e}^{iS/\hslash }=(E-V)e^{iS/\hslash }$

$\frac{1}{2m}{(\mathrm{\nabla }S)}^2-\frac{i\hslash }{2m}{\mathrm{\nabla }}^{2}S=E-V$

Запішам S у выглядзе ступеннага рада па ħ

$S=S_0+\frac{\hslash }{i}{S}_1+...$

Для нулявога парадку:

$\frac{1}{2m}{(\mathrm{\nabla }{S}_0)}^2=E-V$

Калі разглядаць аднамерны выпадак, то ${\mathrm{\nabla }}^2\to {{\partial }_z}^2$

Атрымліваем дыферэнцыяльнае ўраўненне з гранічнай умовай :

$\frac{S(z=z_0)}{\hslash }=k{z}_0$

для $V\to 0$$z\to -\mathrm{\infty }$

$\frac{d}{dz}\frac{S_0}{\hslash }=\sqrt{k^2-2mV/{\hslash }^2}$

$\frac{S_0(z)}{\hslash }=kz-\frac{m}{{\hslash }^{2}k}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}Vd{z}^{\prime }$

Літаратура

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Cite news

Спасылкі

• [1]Шаблон:Архівавана Набліжэнне Эйконала К. Ст. Шаджеш, факультэт фізікі і астраноміі, Універсітэт Оклахомы