Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне

Шаблон:Не блытаць Шаблон:Размеркаванне імавернасцей Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне — Шаблон:Нп5 размеркаванне імавернасцей, якое ўзнікае, калі выпадковая велічыня мае аднолькавы шанец прыняць кожнае з Шаблон:Нп5 значэнняў. Кожнае з $n$ значэнняў мае імавернасць $\frac{1}{n}$.

Просты прыклад раўнамернага дыскрэтнага размеркавання — падкіданне шасціграннага кубіка. Магчымыя значэнні — 1, 2, 3, 4, 5, 6, і пры кожным падкіданні імавернасць выпадзення пэўнага значэння роўная 1/6. Калі б падкідаліся два кубікі і іх значэнні складаліся, размеркаванне такой выпадковай велічыні ўжо не было б раўнамерным, бо розныя сумы маюць розныя імавернасці.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне прынята вызначаць для цэлых лікаў, але яго можна абагульніць і на адвольнае канечнае мноства. Напрыклад, Шаблон:Нп5 атрымліваецца ў выніку выбару з роўнаімаверных перастановак пэўнай даўжыні.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне задаецца на ўсіх цэлых ліках у інтэрвале $[a,b]$, дзе $a$, $b$ — некаторыя цэлыя лікі і $a\le b$. Лікі $a$ і $b$ завуцца параметрамі раўнамернага дыскрэтнага размеркавання. Часам выкарыстоўваецца адзін параметр $n$ і значэнні велічыні бяруцца з інтэрвалу $[1,n]$. З такой параметрызацыяй функцыя размеркавання мае выгляд $F(k;a,b)=\frac{\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}$.

Ацэнка максімуму

Няхай маем Шаблон:Нп5 без вяртання з $k$ назіранняў з раўнамернага дыскрэтнага размеркавання на цэлых ліках $1,2,\dots ,N$. Патрабуецца Шаблон:Нп5 невядомы максімум $N$. Гэтая задача вядомая пад назвай «Шаблон:Нп5», бо яна прымянялася для ацэнкі колькасці вырабленых нямецкіх танкаў падчас Другой сусветнай вайны.

Шаблон:Нп5 задаецца формулай

$\hat{N}=\frac{k+1}{k}m-1=m+\frac{m}{k}-1$,

дзе $m$ — максімум выбаркі, а $k$ — памер выбаркі.

Дысперсія ацэнкі роўная

$\frac{1}{k}\frac{(N-k)(N+1)}{(k+2)}\approx \frac{N^2}{k^2}$,

дзе прыблізная роўнасць дасягаецца для невялікіх выбарак $k\ll N$.

Беручы ў якасці ацэнкі выбаркавы максімум $m$, атрымаем ацэнку максімальнай праўдападобнасці, але такая ацэнка будзе Шаблон:Нп5.

Калі элементы выбаркі не пранумараваныя, але іх магчыма памеціць, памер генеральнай сукупнасці можна ацаніць Шаблон:Нп5, якім карыстаюцца напрыклад для ацэнкі папуляцыі жывёл.

Дастатковая статыстыка

Сямейства раўнамерных дыскрэтных размеркаванняў над інтэрваламі цэлых лікаў (з адной ці дзвюма невядомымі межамі) мае канечнавымерную Шаблон:Нп5: тройку выбаркавага Шаблон:Нп5 і памеру выбаркі. Пры гэтым раўнамерныя дыскрэтныя размеркаванні не з’яўляюцца Шаблон:Нп5 размеркаванняў, бо іх носьбіт залежыць ад параметраў. Для сямействаў чый Шаблон:Нп5 не залежыць ад параметраў, тэарэма Пітмана-Купмана-Дармуа сцвярджае, што толькі экспанентавыя сямействы маюць дастатковую статыстыку, памернасць якой абмежаваная пры павелічэнні памеру выбаркі. Такім чынам, раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне — просты прыклад абмежавання тэарэмы.