Сферычная сістэма каардынат

Кропка $P$ мае тры дэкартавых і тры сферычных каардынаты

Сферычную сістэму каардынат зручна вызначаць, суадносячы з дэкартавай прамавугольнай сістэмай каардынат (гл. малюнак):

Сферычнымі каардынатамі называюць сістэму каардынат для адлюстравання геаметрычных уласцівасцей фігуры ў трох вымярэннях з дапамогай заданні трох каардынат $(r,\theta ,\phi )$, где $r$ - адлегласць да пачатку каардынат, а $\theta$ и $\phi$ - зенітны і азімутальны вугал адпаведна.

Паняцці зеніт і азімут шырока выкарыстоўваюцца ў астраноміі. Наогул зеніт - гэта напрамак вертыкальнага ўздыму над адвольна абраным пунктам (пунктам назірання) або плоскасцю, у якой ляжыць гарызонт, або плоскасцю экліптыкі і г. д., што спараджае розныя сістэмы нябесных каардынат. Азімут - вугал паміж адвольна абраным прамянём фундаментальнай плоскасці з пачаткам у пункце назірання і іншым прамянём гэтай плоскасці, якія маюць агульны пачатак з першым.

У дачыненні да нашага малюнку сферычнай сістэмы каардынат, фундаментальная плоскасць — гэта плоскасць XY. Зеніт - нейкая аддаленая кропка, якая ляжыць на восі Z і бачная з пачатку каардынат. Азімут адлічваецца ад восі X да праекцыі радыус-вектара r на плоскасць XY. Гэта тлумачыць назвы вуглоў, як і тое, што сферычная сістэма каардынат можа служыць абагульненнем (хай хоць бы і набліжаным) мноства відаў сістэм нябесных каардынат.

Азначэнні

Тры каардынаты $(r,\theta ,\phi )$ вызначана як:

• $r⩾0$ — адлегласць ад пачатку каардынат да зададзенай кропкі $P$.
• $0⩽\theta ⩽180^{\circ }$ — вугал меж воссю $Z$ і адрэзкам, які злучае пачатак каардынат і кропку $P$.
• $0⩽\phi <360^{\circ }$ — вугал меж воссю $X$ і праэкцыяй адрэзка, які злучае пачатак каардынат з кропкай $P$, на плоскасць $XY$ (у ЗША вуглы $\theta$ і $\phi$ мяняюцца месцамі.

Вугал math>\theta</math> называецца зенітным, або палярным, ці нармальным, а таксама ён можа быць названы англійскім словам colatitude, а вугал $\phi$ - азымутальным. Вуглы $\theta$ і $\phi$ не маюць значэння пры $r=0$, а $\phi$ не мае значэння пры $\sin (\theta )=0$ (то ёсць пры $\theta =0$ ці $\theta =180^{\circ }$).

Залежна ці незалежна ад стандарту ISO 31-11, існуе і такое пагадненне або канвенцыя (Шаблон:Lang-en convention), калі замест зенітнага вугла $\theta$, выкарыстоўваецца вугал паміж праекцыяй радыус-вектара пункту r на плоскасць xy і самім радыус-вектарам r, роўны $90^{\circ }$ — $\theta$. Ён называецца вуглом уздыму і можа быць пазначаны той жа літарай $\theta$. У гэтым выпадку ён будзе зменяцца ў межах $-90^{\circ }⩽\theta ⩽90^{\circ }$.

Тады вуглы $\theta$ і $\phi$ не маюць значэння пры $r=0$, так як і ў першаму выпадку, а $\phi$ не мае значэння пры $\cos (\theta )=0$, (ужо пры $\theta =-90^{\circ }$ або $\theta =90^{\circ }$).

Пераход да іншых сістэм каардынат

• Дэкартава сістэма каардынат
  • Калі зададзены сферычныя каардынаты кропкі, то пераход да дэкартавых здзейсняецца па формулам:

    $\{\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \phi ,\\ y=r\sin \theta \sin \phi ,\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

  • Зваротна, ад дэкартавых да сферычных:

    $\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \theta =\arccos \left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right),\\ \phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{y}{x}\right).\end{array}$

    • (тут, вядома, патрабуецца пэўнае натуральнае ўдакладненне для значэнняў $\phi$ па-за першым актантам; таксама для ўсіх формул з арктангенсам тут і ніжэй; зрэшты, замена на адпаведную формулу з арккосінусам здымае гэтае пытанне ў дачыненні да каардынаты $\theta$).
  • Якабіян ператварэнні ад дэкартавых да сферычных:

    $J=r^2\sin \theta .$

• Цыліндрычная сістэма каардынат
  • Калі зададзены сферычныя каардынаты кропкі, то пераход да цыліндрычным ажыццяўляецца па формулах:

    $\{\begin{array}{c}\rho =r\sin \theta ,\\ \phi =\phi ,\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

  • Зваротна ад цыліндрычных да сферычных:

    $\{\begin{array}{c}r=\sqrt{{\rho }^2+z^2},\\ \theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\rho }{z}\right),\\ \phi =\phi .\end{array}$

  • Якабіян ператварэнні ад сферычных да цыліндрычных:

    $J=r.$

Гл. таксама

• Сістэма нябесных каардынат
• Цыліндрычная сістэма каардынат
• Палярная сістэма каардынат

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн
• Шаблон:Крыніцы/МатЭн (2001)

Спасылкі

• Сферическая система координат // Конев В. В. Скалярные и векторные поляШаблон:Ref-ru на карпаратыўным партале Томскага політэхнічнага ўніверсітэта
• Шаблон:MathWorld