Тэарэма Гаўса

Шаблон:Электрадынаміка Тэарэ́ма Га́ўса — асноўная тэарэма электрастатыкі, якая ўстанаўлівае сувязь паміх патокам напружанасці электрычнага поля праз адвольную замкнёную паверхню і электрычным зарадам, што знаходзіцца ўнутры гэтай паверхні.

Фармулёўка

Фармулёўка тэарэмы:

Паток вектара напружанасці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю свабодных электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.

$\mathrm{\Phi }=\frac{Q}{{\epsilon }_0\epsilon }$

Доказ

Паток вектара напружанасці пунктавага зарада праз элемент паверхні dS складае

$d\mathrm{\Phi }=\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\frac{qdScos\phi }{4\pi {\epsilon }_0\epsilon r^2}=\frac{qd{S}_r}{4\pi {\epsilon }_0\epsilon r^2}$, дзе $d{S}_r$ праекцыя dS на плоскасць, перпендыкулярную да вектара $\overrightarrow{r}$, накіраванага ад зарада да паверхні.

Велічыня $\frac{d{S}_r}{r^2}$ уяўляе сабой цялесны вугал $d\mathrm{\Omega }$, пад якім з пункта знаходжання зарада бачна паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны паток праз замкнёную паверхню роўны

$\mathrm{\Phi }=\oint \frac{qd{S}_r}{4\pi {\epsilon }_0\epsilon r^2}=\oint \frac{qd\mathrm{\Omega }}{4\pi {\epsilon }_0\epsilon }=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0\epsilon }\oint d\mathrm{\Omega }=\frac{q}{{\epsilon }_0\epsilon }$

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, то яго паток праз паверхню роўны да нуля, таму што любая прамая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і іншы раз – выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып суперпазіцыі электрычных палёў, агульны паток праз замкнёную паверхню можна знайсці як суму патокаў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

$\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Sigma }{\mathrm{\Phi }}_i=\frac{\mathrm{\Sigma }{q}_i}{{\epsilon }_0\epsilon }$

Тэарэма Гаўса з'яўляецца вынікам закона Кулона. Яна ўжывальная і да іншых палёў, напружанасць якіх вызначаецца законам, падобным да кулонаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасці будзе выконваць паскарэнне свабоднага падзення, а замест зарада будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

$\mathrm{\Phi }=4\pi GM$

дзе G – гравітацыйная пастаянная.

Літаратура

• Мікуліч А. С. Курс агульнай фізікі. Электрычнасць і магнетызм: вучэб. дапаможнік. — Мн.: Вышэйшая школа, 1995.