Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

Ілюстрацыя тэарэмы для моманту плошчы.

Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера, ці проста тэарэма Штэйнера (названа па імі швейцарскага матэматыка Якаба Штэйнера і галандскага матэматыка, фізіка і астранома Хрысціяна Гюйгенса): момант інерцыі $J$ цела адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела $J_C$ адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела $m$ на квадрат адлегласці $d$ паміж восямі:

$J=J_C+m{d}^2$

дзе

$J_C$ — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,

$J$ — шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,

$m$ — маса цела,

$d$ — адлегласць паміж указанымі восямі.

Выснова

Момант інерцыі, паводле азначэння:

$J=\sum _{i=1}^n{m}_i({\overrightarrow{r^{\prime }}}_i{)}^2$

Радыус-вектар ${\overrightarrow{r^{\prime }}}_i$ можна распісаць як суму двух вектараў:

${\overrightarrow{r^{\prime }}}_i={\overrightarrow{r}}_i+\overrightarrow{d}$,

дзе $\overrightarrow{d}$ — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння. Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

$J=\sum _{i=1}^n{m}_i({\overrightarrow{r}}_i{)}^2+2\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{r}}_i\overrightarrow{d}+\sum _{i=1}^n{m}_i(\overrightarrow{d}{)}^2$

Выносячы за суму $\overrightarrow{d}$, атрымаем:

$J=\sum _{i=1}^n{m}_i({\overrightarrow{r}}_i{)}^2+2\overrightarrow{d}\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{r}}_i+d^2\sum _{i=1}^n{m}_i$

Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

$\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{r}}_i=0$

Тады:

$J=\sum _{i=1}^n{m}_i({\overrightarrow{r}}_i{)}^2+d^2\sum _{i=1}^n{m}_i$

Адкуль і вынікае шуканая формула:

$J=J_C+m{d}^2$,

дзе $J_C$ — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

Прыклад

Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю $C$) роўны

$J_C=\frac{m{L}^2}{12}.$

Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

$J=J_C+m{d}^2$

дзе $d$ — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю $C$. У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле $d=L/2$:

$J=J_C+m{\left(\frac{L}{2}\right)}^2=\frac{m{L}^2}{12}+\frac{m{L}^2}{4}=\frac{m{L}^2}{3}.$

Пералік тэнзара інерцыі

Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар ${𝐉}_{ij}$ адносна адвольнага пункта з тэнзара ${𝐈}_{ij}$ адносна цэнтра мас. Няхай $𝐚$ — зрушэнне ад цэнтра мас, тады

${𝐉}_{ij}={𝐈}_{ij}+m(a^2{\delta }_{ij}-a_i{a}_j),$

дзе

$𝐚=a_1\widehat{𝐱}+a_2\widehat{𝐲}+a_3\widehat{𝐳}$ — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а ${\delta }_{ij}$ — сімвал Кронекера.

Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры $i=j$) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

Гл. таксама

• Момант інерцыі
• Спіс момантаў інерцыі