Тэарэма Карно (тэрмадынаміка)

Тэарэма Карно — тэарэма пра каэфіцыент карыснага дзеяння (ККД) цеплавых рухавікоў. Згодна з гэтай тэарэмай, ККД цыклу Карно не залежыць ад прыроды працоўнага цела і канструкцыі цеплавога рухавіка і з'яўляецца функцыяй тэмператур награвальніка і халадзільніка.

Гісторыя

У 1824 г. Садзі Карно прыйшоў да высновы: "рухальная сіла цяпла не залежыць ад агентаў, узятых для яе развіцця; яе колькасць выключна вызначаецца тэмпературамі цел, паміж якімі, у канчатковым рахунку, вырабляецца перанос цеплароду"

Логіка разваг Карно была такая: «... можна з дастатковай падставай параўнаць рухальную сілу цяпла з сілай падаючай вады: абедзве маюць максімум, які нельга перасягнуць, якая б ні была б у адным выпадку машына для выкарыстання дзеянні вады, і ў іншым - рэчыва, адведзены для развіцця сілы цяпла

Рухальная сіла падаючай вады залежыць ад вышыні падзення і колькасці вады; рухаючая сіла цяпла таксама залежыць ад колькасці ужытага цеплароду і залежыць ад таго, што можна назваць і што мы насамрэч і будзем называць вышынёй яго падзення, - гэта значыць ад рознасці тэмператур цел, паміж якімі адбываецца абмен цеплароду. Пры падзенні вады рухальная сіла строга прапарцыянальная рознасці узроўняў у верхнім і ніжнім рэзервуары. Пры падзенні цеплароду рухальная сіла без сумневу ўзрастае з рознасцю тэмператур паміж гарачым і халодным целамі ... ».

Некаторыя сучасныя аўтары (К. В. Глаголещ, А. Н. Марозаў з МДТУ ім. Н. Э. Баумана) гавораць ужо аб двух тэарэмах Карно, цытата: "Прыведзеныя вышэй развагі дазваляюць перайсці да фармулёўкі першай і другой тэарэм Карно. Іх можна сфармуляваць у выглядзе двух наступных сцвярджэнняў:

1. Каэфіцыент карыснага дзеяння любой зварачальнай цеплавой машыны, якая працуе па цыклу Карно, не залежыць ад прыроды працоўнага цела і прылады машыны, а з'яўляецца функцыяй толькі тэмпературы награвальніка і халадзільніка: $\eta =1-F(T_H,T_X)$

2. Каэфіцыент карыснага дзеяння любой цеплавой машыны, якая працуе па незваротнам цыкле, менш каэфіцыента карыснага дзеяння машыны з зварачальным цыклам Карно, пры ўмове роўнасці тэмператур іх награвальнікаў і халадзільнікаў: ${\eta }_n<{\eta }_o$»

Іншыя аўтары (напрыклад, Б. М. Яворскі і Ю. А. Селязнёў) паказваюць на тры аспекты адной тэарэмы Карно, цытата (cм. стар 151-152.):

«3°. Тэрмічны ККД зварачальнага цыклу Карно не залежыць ад прыроды працоўнага цела і вызначаецца толькі тэмпературамі награвальніка $T_H$ і халадзільніка $T_X$:

${\eta }_k=\frac{T_H-T_X}{T_H}=1-\frac{T_X}{T_H}$

${\eta }_k<0$, бо практычна немагчыма ажыццявіць ўмову $T_H\to oo$ і тэарэтычна немагчыма ажыццявіць халадзільнік, у якога: $T_X=0$.

4°. Тэрмічны ККД ${\eta }_o$ адвольнага зварачальнага цыклу не можа перавышаць тэрмічны ККД зварачальнага цыклу Карно, ажыццёўленага паміж тымі ж тэмпературамі $T_H$ і $T_X$ награвальніка і халадзільніка:

${\eta }_o<\frac{T_H-T_X}{T_H}$.

5°. Тэрмічны ККД ${\eta }_n$ адвольнага незваротнага цыклу заўсёды менш тэрмічнага ККД зварачальнага цыклу Карно, праведзенага паміж тэмпературамі $T_H$ і $T_X$:

${\eta }_n<\frac{T_H-T_X}{T_H}$.

Пункты 3° - 5° складаюць змест тэарэмы Карно.»

Доказы тэарэмы Карно

Існуе некалькі розных доказаў гэтай тэарэмы.

Доказ Садзі Карно

... У розных палажэннях поршань адчувае ціску больш ці менш значныя з боку паветра, які знаходзіцца ў цыліндры; пругкая сіла паветра змяняецца як ад змены аб'ёму, так і ад змены тэмпературы, але неабходна заўважыць, што пры роўных аб'ёмах, гэта значыць для падобных палажэнняў поршня, пры разрэджанні тэмпература будзе больш высокай, чым пры сціску. Таму ў першым выпадку пругкая сіла паветра будзе больш, а адсюль рухальная сіла, вырабленая рухам ад пашырэння, будзе больш, чым сіла, патрэбная для сціску. Такім чынам, атрымаецца лішак рухальнай сілы, лішак, які можна на што-небудзь ўжыць. Паветра паслужыць нам цеплавой машынай; мы ўжылі яго нават найбольш выгадным чынам, так як не адбывалася ні аднаго бескарыснага аднаўлення раўнавагі цеплароду.

Сучасны доказ =

Адзін з доказаў прадстаўлена ў кнізе Д. цёр Хаара і Г. Вергеланда «Элементарная тэрмадынаміка».

Адзін з магчымых варыянтаў тэарэтычнага цыклу Карно

«Працэс D-E. (гл. мал). Паколькі газ ідэальны, $(dU/dV{)}_T=0$ і ўнутраная энергія застаецца сталай. Усе цяпло, атрыманае ад рэзервуара пры тэмпературы $T_H$, ператвараецца ў вонкавую працу:

$Q_{D-E}=\underset{ik}{\overset{cd}{\int }}pdV=R{T}_H\ln \frac{V_{cd}}{V_{ik}}$. [1]

Працэс В-C. Падобным жа чынам, праца, зробленая пры сціску, ператвараецца ў цяпло, якое перадаецца халоднаму рэзервуару:

$Q_{B-C}=\underset{gh}{\overset{ef}{\int }}pdV=R{T}_X\ln \frac{V_{ef}}{V_{gh}}$. [2]

Працэсы E-B і C-D. Паколькі газ ідэальны і $U$ залежыць толькі ад тэмпературы $T$, з ураўнення $Q=U_2-U_1+A$ вынікае, што праца, якая ў адным з гэтых двух адыябатычных працэсаў, цалкам кампенсуе працу, якая здзяйсняецца ў іншым працэсе. Сапраўды, карыстаючыся адыябатычнай умовай $C_{V}dT+pdV=0$, атрымліваем:

$C_V(T_H-T_X)=\underset{cd}{\overset{gh}{\int }}pdV=-\underset{ef}{\overset{ik}{\int }}pdV$.

Каб знайсці сувязь паміж $V_{ik}$, $V_{cd}$, $V_{gh}$ і $V_{ef}$, заўважым, што, згодна з ураўненням Пуасона $T{V}^{R/C_V}=const$, у адыябатычных працэсах:

(E → B):$T_H{V}_{cd}^{x-1}=T_X{V}_{gh}^{x-1}$

(C → D):$T_X{V}_{ef}^{x-1}=T_H{V}_{ik}^{x-1}$

і, такім чынам,

$\frac{V_{cd}}{V_{ik}}=\frac{V_{gh}}{V_{ef}}$.

Падстаўляючы гэта суадносіны ў ўраўненні [1] і [2], атрымліваем:

$\frac{Q_{B-C}}{Q_{D-E}}=\frac{T_H}{T_X}$.

У той жа час мы прыходзім да выніку ... што ККД аптымальнага цыклу роўны

${\eta }_{max}=\frac{T_H-T_X}{T_H}$.»

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга