Тэарэма множання імавернасцей

Шаблон:Тэорыя імавернасцей Тэарэма множання імавернасцей дае магчымасць падлічыць імавернасць здабытку некалькіх падзей, выкарыстоўваючы ўмоўную імавернасць.

ФармулёўкаШаблон:Rp

Для дзвюх падзей

Для дзвюх падзей $A$ і $B$, такіх што $P(B)>0$ выконваецца $$P(AB)=P(A|B)P(B),$$ дзе $P(A|B)$ — умоўная імавернасць $A$ пры выкананні $B$.

Для канечнага мноства падзей

Для канечнага мноства падзей $A_1,A_2,\dots ,A_n$, такіх што $P(A_1{A}_2\dots A_{n-1})>0$ выконваецца

$$P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)P(A_n|A_1{A}_2\dots A_{n-1}).$$

Доказ

Тэарэма даказваецца метадам матэматычнай індукцыі.

Для $n=2$ роўнасць вынікае з азначэння ўмоўнай імавернасці $P(A|B)=P(AB)/P(B)$, дамнажаючы абодва бакі на $P(B)$.

Дапусцім, што $n>2$ і выконваецца $$P(A_1{A}_2\dots A_{n-1})=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)P(A_{n-1}|A_1{A}_2\dots A_{n-2}).$$

Пазначым $B=A_1{A}_2\dots A_{n-1}$ і атрымаем

$$P(A_1\dots A_{n-1}{A}_n)=P(B{A}_n)=P(B)P(A_n|B)=$$ $$=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)P(A_n|A_1{A}_2\dots A_{n-1}).$$

Прыклад выкарыстання

Разгледзім скрыню з $N$ шарамі, $M$ з якіх белыя, а астатнія чорныя. Будзем браць паслядоўна тры шары са скрыні. Трэба знайсці імавернасць таго, што першы і трэці выцягнутыя шары — белыя, а другі — чорны.

Пазначым падзеі $A_1$ — «першы шар — белы», $A_2$ — «другі шар — чорны», $A_3$ — «трэці шар — белы». Тады падзея, якая нас цікавіць, — $A_1{A}_2{A}_3$. Знойдзем яе імавернасць з дапамогай тэарэмы множання імавернасцей:

$$P(A_1{A}_2{A}_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)=\frac{M}{N}\frac{N-M}{N-1}\frac{M-1}{N-2}.$$

Шаблон:Зноскі