Электрамагнітныя ваганні

Электрамагнітныя ваганні можна адлюстраваць у выглядзе папярочных ваганняў электрычнага і магнітнага палёў, якія самі распаўсюджваюцца. На малюнку - плоскапалярызованая хваля, якая распаўсюджваецца справа налева. Ваганні электрычнага поля намаляваны ў вертыкальнай плоскасці, а ваганні магнітнага поля - у гарызантальнай.

Электрамагнітнымі ваганнямі называюцца перыядычныя змены напружанасці Е і індукцыі В.

Электрамагнітнымі ваганнямі з'яўляюцца радыёхвалі, мікрахвалі, інфрачырвонае выпраменьванне, бачнае святло, ультрафіялетавае выпраменьванне, рэнтгенаўскія прамяні, гама-прамяні.

Вывад формулы

Электрамагнітныя хвалі як універсальная з'ява былі прадказана класічнымі законамі электрычнасці і магнетызму, вядомымі як ураўненні Максвела. Калі вы ўважліва паглядзіце на ураўненні Максвела ў адсутнасць крыніц (зарадаў або токаў), то выявіце, што акрамя трывіяльнага рашэння, калі напружанасці электрычнага і магнітнага поля роўныя нулю ў кожнай кропцы прасторы і нічога не мяняецца, існуюць нетрывіяльныя рашэнні, якія ўяўляюць сабой змены абедзвюх напружанасцяў ў прасторы і часу. Пачнем з ураўненняў Максвелла для вакууму

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0(1)$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial }{\partial t}𝐁(2)$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0(3)$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}𝐄(4)$

дзе

$\mathrm{\nabla }$ — вектарны дыферэнцыяльны аператар (набла).

Адно з рашэнняў,

$𝐄=𝐁=\mathrm{𝟎}$,

— самае простае.

Каб знайсці іншае, больш цікавае рашэнне, мы скарыстаемся вектарнай тоеснасцю, якая справядліва для любога вектара, у выглядзе:

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$

Каб паглядзець як мы можам выкарыстоўваць яго, возьмем аперацыю віхуры ад выказвання (2):

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})(5)$

Левая частка эквівалентная:

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄=-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄(6)$

дзе мы спрашчаем, выкарыстоўваючы вышэй прыведзенае раўнанне (1).

Правая частка эквівалентная:

$\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝐄(7)$

Ураўненні (6) і (7) роўныя, такім чынам гэтыя вынікі ў вектарназначным дыферэнцыяльным ураўненні для электрычнага поля, а менавіта

${\mathrm{\nabla }}^2𝐄={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝐄$

Ужываючы аналагічныя зыходныя вынікі ў аналагічным дыферэнцыяльным ураўненні для магнітнага поля:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐁={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝐁$.

Гэтыя дыферэнцыяльныя ураўненні эквівалентныя хвалеваму ураўнанню:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$

дзе

c₀ — хуткасць хвалі у ваккуме;

f — апісвае зрух.

Ці яшчэ прасцей:

${◻}^{2}f=0$

где ${◻}^2$ — аператар Д’Аламбера:

${◻}^2={\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

Заўважце, што ў выпадку электрычнага і магнітнага палёў хуткасць:

$c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}$

Якая, як высвятляецца, ёсць хуткасць святла ў вакууме. ураўненні Максвела аб'ядналі дыэлектрычную пранікальнасць вакууму ε₀, магнітную пранікальнасць вакууму μ₀ і непасрэдна хуткасць святла c₀. Да гэтага вываду не было вядома, што была такая строгая сувязь паміж святлом, электрычнасцю і магнетызмам.

Але маюцца толькі два ураўненні, а мы пачалі з чатырох, таму маецца яшчэ больш інфармацыі адносна хваляў, схаваных у ураўненнях Максвела. Давайце разгледзім тыповую вектарную хвалю для электрычнага поля.

$𝐄={𝐄}_{0}f(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_{0}t)$

Тут ${𝐄}_0$ — пастаянная амплітуда ваганняў, $f$ — любая імгненная дыферэнцавальная функцыя, $\widehat{𝐤}$ — адзінкавы вектар у кірунку распаўсюджвання, а $𝐱$i- радыус-вектар. Мы заўважаем, што $f(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_{0}t)$ — агульнае рашэнне хвалевага ураўнення. Іншымі словамі

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_{0}t)=\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\partial }^2}{{\partial }^{2}t}f(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_{0}t)$,

для тыповай хвалі, якая распаўсюджваецца ў $\widehat{𝐤}$ кірунку.

Гэтая форма будзе задавальняць хвалеваму ураўненні, але ці будзе яна задавальняць усім ураўненням Максвела, і з чым адпаведны магнітнае поле?

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\widehat{𝐤}\cdot {𝐄}_0{f}^{\prime }(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_{0}t)=0$

$𝐄\cdot \widehat{𝐤}=0$

Першае ураўненне Максвелла мае на ўвазе, што электрычнае поле артаганальнае (перпендыкулярнае) кірунку распаўсюджванню хвалі.

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=\widehat{𝐤}\times {𝐄}_0{f}^{\prime }(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_{0}t)=-\frac{\partial }{\partial t}𝐁$

$𝐁=\frac{1}{c_0}\widehat{𝐤}\times 𝐄$

Другое ураўненне Максвелла спараджае магнітнае поле. Тыя, што засталіся, ўраўненні будуць задавальняцца выбарам $𝐄,𝐁$.

Мала таго, што хвалі электрычнага і магнітнага палёў распаўсюджваюцца з хуткасцю святла, але яны маюць абмежаваную арыентацыю і прапарцыйную велічыню, $E_0=c_0{B}_0$, якую можна адразу ж заўважыць з вектара Пойнтынга. Электрычнае поле, магнітнае поле і кірунак распаўсюджвання хвалі, ўсе з'яўляюцца артаганальнымі, і распаўсюд хвалі ў тым жа кірунку як вектар $𝐄\times 𝐁$.

З пункту гледжання электрамагнітнай хвалі, якая перамяшчаецца прамалінейна, электрычнае поле можа вагацца уверх і ўніз, у той час як магнітнае поле можа вагацца направа і налева, але гэтая карціна можа чаргавацца з электрычным полем, рухомым направа і налева, і магнітным полем, якое вагаецца уверх і ўніз. Гэтая адвольнасць ў арыентацыі з перавагай да кірунку распаўсюджвання вядома як палярызацыя.

Гл. таксама

• Ураўненні Максвела
• Вібратар Герца
• Вагальны контур