4-скорасць

У фізіцы, у тым ліку ў спецыяльнай і агульнай тэорыі адноснасці, 4-скорасць (чытаецца чатырох-скорасць) — 4-вектар (вектар у чатырохмернай прасторы-часе), які выконвае ролю адпаведніка звычайнай скорасці (трохмернага вектара).

Падзеі апісваюцца ў часе і прасторы, якія разам утвараюць чатырохмерную прастору-час. Гісторыя аб’екта адлюстроўваецца крывою ў прасторы-часе, так званаю сусветнаю лініяй, якую можна параметрызаваць уласным часам аб’екта. 4-скорасць ёсць скорасць змянення 4-становішча адносна ўласнага часу ўздоўж крывой. Звычайная ж скорасць ёсць скорасць змянення становішча аб’екта ў (трохмернай) прасторы, як гэта бачыць назіральнік з інерцыяльнай сістэмы адліку адносна свайго часу (г. зн. часу, вымеранага ў сістэме назіральніка).

Такім чынам, 4-скорасць ёсць унармаваны накіраваны ў будучыню часападобны датычны вектар да сусветнай лініі, і з’яўляецца контраварыянтным вектарам. Хоць 4-скорасць і з’яўляецца вектарам, вынік складання дзвюх 4-скарасцей не будзе 4-скорасцю: прастора 4-скарасцей не з’яўляецца вектарнаю прастораю.

Абсалютная велічыня 4-скорасці аб’екта заўсёды раўняецца скорасці святла c. Для аб’екта ў стане спакою (адносна сістэмы адліку) яго 4-скорасць накіравана ў напрамку часавай каардынаты.

Скорасць

Шлях аб’екта ў трохмернай прасторы (у інерцыяльнай сістэме адліку) можна апісаць з дапамогай трох каардынатных функцый $x^i(t),i\in \{1,2,3\}$ ад часу $t$:

$\overrightarrow{x}=x^i(t)=\left[\begin{array}{c}{x}^1(t)\\ x^2(t)\\ x^3(t)\end{array}\right],$

дзе $x^i(t)$ абазначаюць тры прасторавыя каардынаты аб’екта ў момант часу t.

Кампаненты скорасці $\overrightarrow{u}$ (датычнай да крывой) у любым пункце сусветнае лініі вызначаюцца так

$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}{u}^1\\ u^2\\ u^3\end{array}\right]=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=\frac{d{x}^i}{dt}=\left[\begin{array}{c}\frac{d{x}^1}{dt}\\ \frac{d{x}^2}{dt}\\ \frac{d{x}^3}{dt}\end{array}\right].$

Тэорыя адноснасці

У Эйнштэйнавай тэорыі адноснасці, шлях перамяшчэння аб’екта адносна нейкай сістэмы адліку вызначаецца чатырма каардынатнымі функцыямі $x^{\mu }(\tau ),\mu \in \{0,1,2,3\}$ (дзе $x^0$ абазначае часавую каардынату, дамножаную на c), кожная функцыя залежыць ад аднаго параметра $\tau$, які называецца ўласным часам аб’екта.

$𝐱=x^{\mu }(\tau )=\left[\begin{array}{c}{x}^0(\tau )\\ x^1(\tau )\\ x^2(\tau )\\ x^3(\tau )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ct\\ x^1(t)\\ x^2(t)\\ x^3(t)\end{array}\right]$

Запавольванне часу

Рэлятывісцкае запавольванне часу дае наступныя суадносіны

$t=\gamma \tau ,$

дзе $\gamma$ — Лорэнцаў множнік, вызначаны наступным чынам:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},$

а u — еўклідава норма вектара скорасці $\overrightarrow{u}$:

$u=\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{(u^1{)}^2+(u^2{)}^2+(u^3{)}^2}.$

Азначэнне 4-скорасці

4-скорасць ёсць датычны 4-вектар да сусветнае лініі. 4-скорасць у любым пункце сусветнае лініі $𝐱(\tau )$ вызначаецца так:

$𝐔=\frac{d𝐱}{d\tau },$

дзе $𝐱$ — 4-становішча, а $\tau$ — уласны час.

Гэтае азначэнне 4-скорасці, заснаванае на паняцці ўласнага часу аб’екта, нельга пашырыць ні на такія аб’екты, як фатоны, што рухаюцца з скорасцю святла, ні на тахіённыя сусветныя лініі, датычны вектар да якіх часападобны.

Кампаненты 4-скорасці

Сувязь паміж часам t і часаваю каардынатаю $x^0$ задаецца так

$x^0=ct=c\gamma \tau .$

Беручы вытворную па ўласнаму часу $\tau$, знаходзім кампаненту 4-скорасці $U^{\mu }$ для μ = 0:

$U^0=\frac{d{x}^0}{d\tau }=c\gamma .$

Скарыстаўшы ланцуговае правіла, для $\mu =i=$1, 2, 3, маем

$U^i=\frac{d{x}^i}{d\tau }=\frac{d{x}^i}{d{x}^0}\frac{d{x}^0}{d\tau }=\frac{d{x}^i}{d{x}^0}c\gamma =\frac{d{x}^i}{d(ct)}c\gamma =\frac{1}{c}\frac{d{x}^i}{dt}c\gamma =\gamma \frac{d{x}^i}{dt}=\gamma u^i,$

дзе ўлічаны суадносіны

$u^i=\frac{d{x}^i}{dt}.$

Такім чынам, 4-скорасць $𝐔$ выглядае так:

$𝐔=\gamma (c,\overrightarrow{u}).$

У тэрмінах мерак (і сінхранізаваных гадзіннікаў), звязаных з асобным участкам плоскай прасторы-часу, тры прасторападобныя кампаненты 4-скорасці вызначаюць уласную скорасць руху аб’екта $\gamma \overrightarrow{u}=d\overrightarrow{x}/d\tau$, г. зн. скорасць, з якою аб’ект пакрывае адлегласць у сістэме адліку за адзінку ўласнага часу, што прайшла на гадзінніку, які рухаецца разам з аб’ектам.

Гл. таксама

• 4-вектар, 4-паскарэнне, 4-імпульс, 4-сіла.
• Спецыяльная тэорыя адноснасці
• Алгебра фізічнай прасторы

Зноскі

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book