Бораўская мадэль атама

Бораўская мадэль вадародападобнага атама (Z - зарад ядра), дзе адмоўна зараджаны электрон заключаны ў атамнай абалонцы, якая акружае малое, дадатна зараджанае атамнага ядра. Пераход электрона з арбіты на арбіту суправаджаецца выпраменьваннем або паглынаннем кванта электрамагнітнай энергіі (hν).

Бораўская мадэль атама (Мадэль Бора) — паўкласічная мадэль атама, прапанаваная Нільсам Борам у 1913 г. За аснову ён узяў планетарную мадэль атама, прапанаваную Рэзерфордам. Аднак, з пункту гледжання класічнай электрадынамікі, электрон у мадэлі Рэзерфорда, рухаючыся вакол ядра, павінен быў бы выпраменьваць бесперапынна і вельмі скора, страціўшы энергію, упасці на ядро. Каб пераадолець гэту праблему, Бор увёў дапушчэнне, сутнасць якога заключаецца ў тым, што электроны ў атаме могуць рухацца толькі па пэўных (стацыянарных) арбітах, знаходзячыся на якіх яны не выпраменьваюць энергію, а выпраменьванне або паглынанне адбываецца толькі ў момант пераходу з адной арбіты на іншую. Прычым стацыянарнымі з'яўляюцца толькі тыя арбіты, пры руху па якіх момант колькасці руху электрона роўны цэламу ліку пастаянных Планка: $m_{e}vr=n\hslash .$

Выкарыстоўваючы гэтае дапушчэнне і законы класічнай механікі, а менавіта роўнасць сілы прыцягнення электрона з боку ядра і цэнтрабежнай сілы, якая дзейнічае на электрон пры вярчэнні, ён атрымаў наступныя значэнні для радыуса стацыянарнай арбіты $R_n$ і энергіі $E_n$ электрона на гэтай арбіце:

$R_n=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{Z{m}_e{e}^2}{n}^2;E_n=-\frac{Z^2{m}_e{e}^4}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2{\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n^2}$

Тут $m_e$ — маса электрона, Z — колькасць пратонаў у ядры, ${\epsilon }_0$ — дыэлектрычная пастаянная, е — зарад электрона.

Менавіта такі выраз для энергіі можна атрымаць з ураўнення Шродзінгера, рашаючы задачу аб руху электрона ў цэнтральным кулонаўскам поле.

Радыус першай арбіты ў атаме вадароду R₀=5,2917720859(36)Шаблон:E м , цяпер называецца бораўскім радыусам, або атамнай адзінкай даўжыні і шырока выкарыстоўваецца ў сучаснай фізіцы. Энергія першай арбіты $E_0=-13.6$ эВ уяўляе сабой энергію іанізацыі атама вадароду.

Паўкласічная тэорыя Бора

Заснавана на двух пастулатах Бора:

• Атам можа знаходзіцца толькі ў асобых стацыянарных, або квантавых, станах, кожнаму з якіх адпавядае пэўная энергія. У стацыянарным стане атам не выпраменьвае электрамагнітных хваль.
• Выпраменьванне і паглынанне энергіі атамам адбываецца пры скачкападобным пераходзе з аднаго стацыянарнага стану ў іншы, пры гэтым маюць месца два стасункі
  1. $\epsilon =E_{n2}-E_{n1},$ дзе $\epsilon$ — выпрамененая (паглынутая) энергія, $n_1,n_2$ — нумары квантавых станаў. У спектраскапіі $E_{n1}$ і $E_{n2}$ называюцца тэрмамі.
  2. Правіла квантавання моманту імпульсу: $m\upsilon r=n\hslash ,$ $n=1,2,3...$

Далей зыходзячы з меркаванняў класічнай фізікі аб кругавым руху электрона вакол нерухомага ядра па стацыянарнай арбіце пад дзеяннем кулонаўскімі сілы прыцягнення, Бор атрымаў выразы для радыусаў стацыянарных арбіт і энергіі электрона на гэтых арбітах:

$r_n=a{n}^2,$ $a=\frac{{\hslash }^2}{km{e}^2}=5.3\cdot 10^{-11}$ м — бораўскі радыус.

$E_n=-R_y\frac{1}{n^2},$ $R_y=\frac{m{k}^2{e}^4}{2{\hslash }^2}$ — энергетычная пастаянная Рыдберга (лікава роўная 13,6 эВ).

Формула Зомерфельда - Дзірака

Рух электрона вакол атамнага ядра ў рамках класічнай механікі можна разглядаць як «лінейны асцылятар», які характарызуецца «адыябатычным інварыянтам», што ўяўляе сабой плошчу эліпса (у абагульненых каардынатах):

$\oint 𝐩\cdot \mathrm{d}𝐪=\frac{W}{\nu }=J,$

дзе — $𝐩,𝐪$ — абагульнены імпульс і каардынаты электрона, $W$ — энергія, $\nu$ — частата.

А квантавы пастулат сцвярджае, што плошча замкнёнай крывой у фазавай $pq$ — плоскасці за адзін перыяд руху, роўная цэламу ліку, памножанаму на пастаянную Планка $h$ (Дэбай, 1913 г.). У сувязі з пастаяннай тонкай структуры найбольш цікавым з'яўляецца рух рэлятывісцкага электрона ў поле ядра атама, калі яго маса залежыць ад хуткасці руху. У гэтым выпадку мы маем дзве квантавыя умовы:

$J_1=nh,J_2=kh,$

дзе $n$ вызначае галоўную паўвось эліптычнай арбіты электрона ($a$), а $k$ — яго факальны параметр $q$:

$a=a_0{n}^2,q=a_0{k}^2.$

У гэтым выпадку Зомерфельд атрымаў выраз для энергіі ў выглядзе

$E=-\frac{R{Z}^2}{n^2}+ϵ(n,k),$

дзе $R$ — пастаянная Рыдберга, а $Z$ — парадкавы нумар атама (для вадароду $Z=1$).

Дадатковы член $ϵ(n,k)$ адлюстроўвае больш тонкія дэталі расшчаплення спектральных тэрмаў вадародападобных атамаў, а іх колькасць вызначаецца квантавым лікам $k$. Такім чынам, самі спектральныя лініі ўяўляюць сабой сістэмы больш тонкіх ліній, якія адпавядаюць пераходам паміж узроўнямі вышэйшага стану ($n=n_1,k=1,2,...,n_1$) і ніжэйшага стану ($n=n_2,k=1,2,...,n_2$). Гэта і ёсць т. зв. тонкая структура спектральных ліній. Зомерфельд распрацаваў тэорыю тонкай структуры для вадародападобных атамаў (H, $H{e}^{+}$, $L{i}^{2+}$), а Фаулер з Пашэнам на прыкладзе спектра аднаразова іанізаванага гелія $H{e}^{+}$ ўстанавілі поўную адпаведнасць тэорыі з эксперыментам.

Зомерфельд (1916) яшчэ задоўга да ўзнікнення квантавай механікі Шродзінгера атрымаў формулу для апісання вадародных тэрмаў у выглядзе:

$E+E_0=E_0{(1+\frac{{\alpha }^2{Z}^2}{{(n_r+\sqrt{n_{\varphi }^2-{\alpha }^2{Z}^2})}^2})}^{-1/2},$

дзе $\alpha$ — пастаянная тонкай структуры, $Z$ — парадкавы нумар атама, $E_0=m{c}^2$ — энергія спакою, $n_r$ — радыяльны квантавы лік, а $n_{\varphi }$ — азімутальны квантавы лік. Пазней гэту формулу, карыстаючыся рэлятывісцкім ураўненнем Шродзінгера, атрымаў Дзірак. Таму цяпер гэта формула і носіць імя Зомерфельда — Дзірака.

З'яўленне тонкай структуры тэрм звязана з прэцэсіяй электронаў вакол ядра атама. Таму з'яўленне тонкай структуры можна выявіць па рэзананснаму эфекту ў вобласці ўльтракароткіх электрамагнітных хваль. У выпадку Z = 1 (атам вадароду) велічыня расшчаплення блізкая да

$E/h\approx R{\alpha }^2/n^2.$

Даўжыня электрамагнітнай хвалі роўная

$\lambda =c/\nu =ch/E=c{n}^2/R{\alpha }^2\approx 0,17cm$

Таму для $n=2$ гэта будзе амаль 1 см.

Перавагі тэорыі Бора

• Ратлумачыла дыскрэтнасць энергетычных станаў вадародападобных атамаў.
• Тэорыя Бора падышла да тлумачэння ўнутрыатамных працэсаў з прынцыпова новых пазіцый, стала першай паўквантавай тэорыяй атама.
• Эўрыстычнае значэнне тэорыі Бора заключаецца ў смелым дапушчэнні існавання стацыянарных станаў і скачкападобнага пераходу паміж імі. Гэтыя палажэнні пазней былі распаўсюджаны і на іншыя мікрасістэмы.

Недахопы тэорыі Бора

• Не змагла растлумачыць інтэнсіўнасць спектральных ліній.
• Справядлівая толькі для вадародападобных атамаў і не працуе для атамаў, якія ідуць за ім у табліцы Мендзялеева.
• Тэорыя Бора лагічна супярэчлівая: не з'яўляецца ні класічнай, ні квантавай. У сістэме двух ураўненняў, якія ляжаць у яе аснове, адно — ўраўненне руху электрона — класічнае, іншае — ўраўненне квантавання арбіт — квантавае.

Тэорыя Бора з'яўлялася недастаткова паслядоўнай і агульнай. Таму яна ў далейшым была заменена сучаснай квантавай механікай, заснаванай на больш агульных і несупярэчных зыходных палажэннях. Цяпер вядома, што пастулаты Бора з'яўляюцца вынікам больш агульных квантавых законаў. Але правілы квантавання шырока выкарыстоўваюцца і ў нашы дні як прыбліжаныя суадносіны: іх дакладнасць часта бывае вельмі высокай.

Літаратура

• Макс Борн Атомная физика, 2-е изд., М.:Мир,1967.- 493с.