Транспанаваная матрыца

Транспанава́ная ма́трыцаШаблон:Sfn — матрыца $A^T$, атрыманая з зыходнай матрыцы $A$ заменай радкоў на слупкі.

Фармальна, транспанаваная матрыца для матрыцы $A$ памераў $m\times n$ — матрыца $A^T$ памераў $n\times m$, вызначаная як AA^T[i, j] = A[j, i].

Напрыклад,

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$      таксама      ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Колькасць радкоў транспанаванай матрыцы роўная колькасці слупкоў зыходнай і наадваротШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Уласцівасці транспанаванай матрыцы

• $(A^T{)}^T=A$

Двойчы транспанаваная матрыца А роўная зыходнай матрыцы А.

• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$

Транспанаваная сума матрыц роўная суме транспанаваных матрыц.

• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

Транспанаваны здабытак матрыц роўны здабытку транспанаваных матрыц, узятых у зваротным парадку.

• $(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$

Пры транспанаванні можна выносіць скаляр.

• $\det A=\det A^T$

Вызначнік транспанаванай матрыцы роўны вызначніку зыходнай матрыцы.

Звязаныя вызначэнні

Сіметрычная матрыца — матрыца, якая задавальняе суадносінам $A^T=A$. Для таго, каб матрыца А была сіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

• матрыца А была квадратнай,
• элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя.

Антысіметрычная (косасіметрычная) матрыца — матрыца, якая задавальняе суадносінам $A^T=-A$. Для таго, каб матрыца А была антысіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

• матрыца А была квадратнай,
• элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя па модулі і розныя па знаку,

Адсюль вынікае, што элементы галоўнай дыяганалі такой матрыцы (могуць) раўняюцца нулю.

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Крыніцы/МатЭС
• Шаблон:Кніга