Сіметрычная матрыца

Сіметрычнай лічыцца квадратная матрыца, элементы якой сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Больш фармальна, сіметрычнай называюць такую матрыцу $A$, што $\mathrm{\forall }i,j:a_{ij}=a_{ji}$.

Гэта азначае, што яна роўная яе транспанаванай матрыцы:

$A=A^T$

Прыклады

$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 3& 2& 6\\ 0& 6& 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 5& 7\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\end{array}\right)$

Уласцівасці

Сіметрычная матрыца заўсёды квадратная .

Для любой сіметрычнай матрыцы A з рэчаіснымі элементамі справядліва наступнае:

• яна мае рэчаісныя ўласныя значэнні.
• яе ўласныя вектары, адпаведныя розным уласным значэнням, артаганальныя адзін аднаму:

$Av={\lambda }_{1}v,Aw={\lambda }_{2}w,{\lambda }_1\ne {\lambda }_2⟹v^{T}w=0$

• з яе ўласных вектараў заўсёды можна скласці ортанармальны базіс.
• матрыцу A можна прывесці да дыяганальнага выгляду: $A=QD{Q}^T$, дзе $Q$ — артаганальная матрыца, слупкі якой ўтрымліваюць базіс з уласных вектараў, а D — дыяганальная матрыца з уласнымі значэннямі матрыцы A на дыяганалі.
• Калі ў сіметрычнай матрыцы A адзінае ўласнае значэнне $\lambda$, то яна мае дыяганальны выгляд: $A=\lambda E$, дзе $E$ — адзінкавая матрыца, у любым базісе .

Станоўча (адмоўна) вызначаныя матрыцы

Сіметрычная матрыца $A$ памерам $k\times k$ з’яўляецца станоўча вызначанай, калі $\mathrm{\forall }z\in R^k:z^{T}Az>0$.
Умова адмоўна, нестаноўча і неадмоўна вызначанай матрыцы фармулюецца аналагічна з змяненнем аператара параўнання ў апошняй няроўнасці.
Для высвятлення характару пэўнасці матрыцы можа выкарыстоўвацца крытэрый Сільвестра. Шаблон:Бібліяінфармацыя