Тэнзар напружанняў

Тэнзар напружанняў — тэнзар другога рангу, які складаецца з дзевяці велічынь, якія прадстаўляюць механічныя напружанні ў адвольнай кропцы нагружанага цела. У дэкартавай сістэме каардынат гэтыя дзевяць велічынь запісваюцца ў выглядзе табліцы, у якой па галоўнай дыяганалі стаяць нармальныя складнікі вектараў напружанняў на трох узаемна перпендыкулярных пляцоўках, што праходзяць праз разгляданую кропку асяроддзя, а ў астатніх пазіцыях — датычныя кампаненты вектараў напружанняў на гэтых пляцоўках.

Поўны тэнзар механічнага напружання элементарнага аб’ёму цела. Літарай Шаблон:Math абазначаны нармальныя механічныя напружанні, а датычныя — літарай Шаблон:Math.

Кампаненты тэнзара напружанняў ${\sigma }_{ij}$ у дэкартавай сістэме каардынат $O{x}_i$ уводзяць наступным чынам. Разглядаюць бесканечна малы аб’ём цела ў выглядзе прамавугольнага паралелепіпеда, грані якога артаганальныя каардынатным восям і маюць плошчы $d{S}_i$. На кожнай грані $d{S}_i$ паралелепіпеда дзейнічаюць паверхневыя сілы $d{F}_i$. Калі пазначыць праекцыі гэтых сіл на восі $O{x}_j$ як $d{F}_{ij}$, то кампанентамі тэнзара напружанняў называюць адносіну праекцый сілы да велічыні плошчы грані, на якой дзейнічае гэта сіла:

${\sigma }_{ij}=\frac{d{F}_{ij}}{d{S}_i}.$

Па індэксе $i$ тут падсумоўвання няма. Кампаненты ${\sigma }_{11}$, ${\sigma }_{22}$, ${\sigma }_{33}$, якія абазначаюцца таксама як ${\sigma }_{xx}$, ${\sigma }_{yy}$, ${\sigma }_{zz}$, — гэта нармальныя напружанні, яны ўяўляюць сабой адносіну праекцыі сілы $d{F}_i$ на нармаль да плошчы разгляданай грані $d{S}_i$:

${\sigma }_{11}=\frac{d{F}_{11}}{d{S}_1}.$

Кампаненты ${\sigma }_{12}$, ${\sigma }_{23}$, ${\sigma }_{31}$, якія абазначаюцца таксама як ${\tau }_{xy}$, ${\tau }_{yz}$, ${\tau }_{zx}$, — гэта датычныя напружанні, яны ўяўляюць сабой адносіну праекцыі сілы на напрамкі, датычныя да плошчы разгляданай грані $d{S}_i$:

${\sigma }_{12}=\frac{d{F}_{12}}{d{S}_1}.$

Пры адсутнасці ўласнага моманту імпульсу суцэльнага асяроддзя, а таксама аб’ёмных і паверхневых пар тэнзар напружанняў сіметрычны. Гэта вынікае з ураўнення балансу моманту імпульсу. У прыватнасці, тэнзар напружанняў сіметрычны ў класічнай тэорыі пругкасці і гідрадынаміцы ідэальнай і лінейна-глейкай вадкасцей.

Гл. таксама

• Тэорыя пластычнасці
• Тэорыя пругкасці
• Тэнзар дэфармацыі
• Тэнзар пругкасці
• Закон Гука