Цэнтральная лімітавая тэарэма

Цэнтра́льная лімітавая тэарэма — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.

Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя лімітавыя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.

Класічная цэнтральная лімітавая тэарэма

Няхай Шаблон:Math — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ². Няхай таксама

$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i.$

Тады

$\frac{S_n-\mu n}{\sigma \sqrt{n}}\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \mathrm{\infty },$

дзе $N(0,1)$ — нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.

Заўвагі

Абазначыўшы сімвалам $\overline{X}$ выбарачнае сярэдняе першых $n$ велічынь:

$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,$

вынік цэнтральнай лімітавай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:

$\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma }\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \mathrm{\infty }$.

Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.

• Кажучы прасцей, класічная цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што сума $n$ незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да $N(n\mu ,n{\sigma }^2).$ Ці, што тое самае, $\overline{X}$ мае размеркаванне блізкае да $N(\mu ,{\sigma }^2/n).$
• Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы $Z_n=\frac{S_n-\mu n}{\sigma \sqrt{n}}$, атрымліваем $F_{Z_n}(x)\to \mathrm{\Phi }(x),\mathrm{\forall }x\in ℝ$, дзе $\mathrm{\Phi }(x)$ — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.
• Цэнтральная лімітавая тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
• Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь Шаблон:Math можна вызначыць шчыльнасць).

Лакальная цэнтральная лімітавая тэарэма

У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь $\{X_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне $Z_n$ таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,

$f_{Z_n}(x)\to \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ пры $n\to \mathrm{\infty }$,

дзе $f_{Z_n}(x)$ — шчыльнасць выпадковае велічыні $Z_n$, а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.

Абагульненні

Вынік класічнай цэнтральнай лімітавай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.

Цэнтральная лімітавая тэарэма Ляпунова

Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні Шаблон:Math маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μ_i і дысперсіі σШаблон:Su і абсалютныя моманты E[|X_i − μ_i|^2+δ]. Няхай

$B_n^2=\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2,$

$r_n^{2+\delta }=\sum _{i=1}^n𝔼[|X_i-{\mu }_i{|}^{2+\delta }].$

Няхай выконваецца умова Ляпунова:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{r_n^{2+\delta }}{B_n^{2+\delta }}=0.$

Тады

$\frac{1}{B_n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i)\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \mathrm{\infty }$.

Цэнтральная лімітавая тэарэма Ліндэберга

Ліндэберг даказаў свой варыянт цэнтральнай лімітавай тэарэмы ў 1920-х гадах.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні Шаблон:Math вызначаны на адной імавернаснай прасторы і маюць канечныя матэматычныя спадзяванні і дысперсіі:

$𝔼[X_i]={\mu }_i,\mathrm{D}[X_i]={\sigma }_i^2.$

Няхай

$B_n^2=\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2.$

І няхай выконваецца ўмова Ліндэберга: г. зн. для любога ε > 0

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{B_n^2}\sum _{i=1}^n\underset{|x-{\mu }_i|>\epsilon B_n}{\int }(x-{\mu }_i{)}^{2}d{F}_i(x)=0,$

дзе Шаблон:Math — функцыя размеркавання велічыні Шаблон:Math .

Тады

$\frac{1}{B_n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i)\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \mathrm{\infty }$.

Заўвагі

• З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем

  $𝔼\left[\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\sum _{i=1}^n{\mu }_i.$

• Велічыні Шаблон:Math незалежныя, таму

  $\mathrm{D}\left[\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2=B_n^2.$

• Умову Ліндэберга можна перапісаць у наступным відзе:

  $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{B_n^2}\sum _{i=1}^n𝔼[(X_i-{\mu }_i{)}^2{\mathrm{𝟏}}_{\{|X_i-{\mu }_i|>\epsilon B_n\}}]=0,$

  дзе ${\mathrm{𝟏}}_{\{\dots \}}$ — Шаблон:Нп3.

Цэнтральная лімітавая тэарэма для мартынгалаў

Няхай працэс $(X_t{)}_{t\in \mathbb{N}}$ з'яўляецца Шаблон:Нп3 з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх t

$𝔼[X_{t+1}-X_t\mid X_1,\dots ,X_t]=0,$

і існуе такая пастаянная Шаблон:Math, што для ўсіх t Шаблон:Нп3 справядліва няроўнасць

$|X_{t+1}-X_t|\le C.$

Будзем таксама лічыць, што $|X_1|\le C.$

Няхай

${\sigma }_t^2=𝔼[(X_t-X_{t-1}{)}^2\mid X_1,\dots ,X_{t-1}],$

і рад з σШаблон:Su разбягаецца Шаблон:Нп3:

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_i^2=\mathrm{\infty }.$

Няхай

${\tau }_{\nu }=\min \{t:\sum _{i=1}^t{\sigma }_t^2\ge \nu \}.$

Тады

$\frac{X_{{\tau }_{\nu }}}{\sqrt{\nu }}\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \mathrm{\infty }$.

Гл. таксама

• Закон вялікіх лікаў
• Закон паўторнага лагарыфма
• Тэарэма Беры — Эсеена
• Тэарэма Эрдзёша — Каца

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Citation

Спасылкі

• Предельные теоремы теории вероятностей Шаблон:Ref-ru