Ураўненне Паўлі

Шаблон:Фізічная тэорыя Ураўненне Паўлі — ураўненне нерэлятывісцкай квантавай механікі, якое апісвае рух зараджанай часціцы са спінам 1/2 (напрыклад, электрона) у вонкавым электрамагнітным полі. Прапанавана Вольфгангам Паўлі ў 1927 годзе. Не блытаць з Шаблон:Нп5, якое таксама часам называюць ураўненнем Паўлі.

Ураўненне Паўлі з’яўляецца абагульненнем ураўнення Шродзінгера, якое ўлічвае наяўнасць у часціцы ўласнага механічнага моманту імпульсу — спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і −1/2 на некаторы (адвольна выбраны) кірунак, які прымаецца звычайна за вось z. У адпаведнасці з гэтым хвалевая функцыя часціцы $\psi (r,t)$ (дзе r — каардыната часціцы, t — час) з’яўляецца двухкампанентнай:

$\psi (r,t)=\left(\begin{array}{c}{\psi }_1(r,t)\\ {\psi }_2(r,t)\end{array}\right).$

Пры паваротах каардынатных восей ${\psi }_1$ i ${\psi }_2$ пераўтвараюцца як кампаненты спінара. У прасторы спінарных хвалевых функцый скалярны здабытак $\psi$ i ${\psi }^{\prime }$ мае выгляд

$({\psi }^{\prime },\psi )=\int (\psi {\text{'}}_1{\psi }_1+\psi {\text{'}}_2{\psi }_2)dr.$

Аператары фізічных велічынь з’яўляюцца матрыцамі 2×2, якія для велічынь (назіраных), незалежных ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.

У сілу агульных законаў электрадынамікі электрычна зараджаная сістэма з ненулявым спінавым момантам $\overrightarrow{s}$ валодае і магнітным момантам, прапарцыянальным $\overrightarrow{s}$: $\overrightarrow{\mu }=g\overrightarrow{s}$ (g — гірамагнітныя адносіны). Для арбітальнага моманту $g=\frac{e}{2mc}$, дзе е — зарад, m — маса часціцы; спінавыя гірамагнітныя адносіны аказваюцца ў два разы большымі: $g=\frac{e}{mc}$. У вонкавым магнітным полі напружанасці $\overrightarrow{B}$ магнітны момант валодае патэнцыяльнай энергіяй $U=-\overrightarrow{\mu }\overrightarrow{B}$, дабаўленне якой у гамільтаніян H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі $\varphi$ і A прыводзіць да ўраўнення Паўлі:

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{\mathscr{H}}\psi =[\frac{1}{2m}(\hat{p}-\frac{e}{c}A\hat{I}{)}^2+e\phi \hat{I}-\frac{e\hslash }{2mc}(\hat{\sigma }\overrightarrow{B})]\psi ,$

дзе $\hat{p}$ — аператар імпульсу, $\hat{I}$ — адзінкавы аператар, а $\hat{\sigma }$ прапарцыянальны аператару спіна: $\hat{s}=\frac{\hslash }{2}\hat{\sigma }$.

Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў ураўненне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцкі-інварыянтнага ўраўнення Дзірака ў слабарэлятывісцкім прыбліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены раскладання па адваротных ступенях скорасці святла.

Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд $\psi (r,t)=\mathrm{\Phi }(r,t)\chi (t)$, дзе $\mathrm{\Phi }(r,t)$ — скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца ўраўненню Шродзінгера, а спінар $\chi =\left(\begin{array}{c}{\chi }_1\\ {\chi }_2\end{array}\right)$ задавальняе ўраўненню

$i\hslash \frac{\partial \chi }{\partial t}=-\frac{e\hslash }{2mc}(\sigma \overrightarrow{B})\chi .$

З гэтага ураўнення вынікае, што сярэдняе значэнне спіна $⟨s⟩=\frac{\hslash }{2}(\chi +\sigma \chi )$ прэцэсіруе вакол напрамку магнітнага поля:

$\frac{d}{dt}⟨s⟩=-{\omega }_B[\overrightarrow{n}⟨s⟩].$

Тут ${\omega }_B=\frac{eB}{mc}$ — цыклатронная частата, $\overrightarrow{n}$ — адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля.

На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне ўзроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна (эфект Зеемана). Аднак больш тонкія рэлятывісцкія эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па адваротных ступенях скорасці святла.

Гл. таксама

• Ураўненне Дзірака
• Ураўненне Шродзінгера

Літаратура

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63.
• Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая электродинамика, 2002.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с.