Біекцыя

Біектыўная функцыя.

Біекцыя — гэта адлюстраванне, якое з’яўляецца адначасова і сюр’ектыўным, і ін’ектыўным. Пры біектыўным адлюстраванні кожнаму элементу аднаго мноства адпавядае роўна адзін элемент іншага мноства, пры гэтым азначана адваротнае адлюстраванне, якое мае тыя самыя ўласцівасці. Таму біектыўнае адлюстраванне яшчэ называюць узаемна-адназначным адлюстраваннем (адпаведнасцю), адна-адназначным адлюстраваннем.

Калі між двума мноствамі можна выявіць узаемна-адназначную адпаведнасць (біекцыю), то такія мноствы называюцца роўнамагутнымі. З пункту гледжання тэорыі мностваў, роўнамагутныя мноствы не адрозніваюцца.

Узаемна-адназначнае адлюстраванне канечнага мноства ў сябе называецца перастаноўкай (або падстаноўкай) элементаў гэтага мноства.

Азначэнне

Функцыя $f:X\to Y$ называецца біекцыяй (і пазначаецца $f:X\leftrightarrow Y$), калі яна:

1. Пераводзіць розныя элементы мноства $X$ у розныя элементы мноства $Y$ (ін’ектыўнасць). Іначай кажучы,
   • $\mathrm{\forall }{x}_1\in X,\mathrm{\forall }{x}_2\in X{x}_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$.
2. Кожны элемент з $Y$ мае свой правобраз (сюр’ектыўнасць). Іначай кажучы,
   • $\mathrm{\forall }y\in Y,\mathrm{\exists }x\in Xf(x)=y$.

Прыклады

• Тоеснае адлюстраванне $\mathrm{i}\mathrm{d}:X\to X$ на мностве $X$ біектыўнае.
• $f(x)=x,f(x)=x^3$ — біектыўныя функцыі з $ℝ$ у сябе. Наогул, любы маном адной пераменнай няцотнай ступені з’яўляецца біекцыяй з $ℝ$ у сябе.
•  $f(x)=e^x$ — біектыўная функцыя з $ℝ$ у ${ℝ}_{+}=(0,+\mathrm{\infty })$.
•  $f(x)=\sin x$ не з’яўляецца біектыўнай функцыяй, калі лічыць яе акрэсленай на ўсім $ℝ$.
• Строга манатонная і неперарыўная функцыя $f(x)$ з’яўляецца біекцыяй з адрэзка $[a,b]$ на адрэзак $[f(a),f(b)]$.

Уласцівасці

Кампазіцыя ін’екцыі і сюр’екцыі, якая дае біекцыю.

• Функцыя $f:X\to Y$ з’яўляецца біектыўнай тады і толькі тады, калі існуе адваротная функцыя $f^{-1}:Y\to X$ такая, што

$\mathrm{\forall }x\in X{f}^{-1}(f(x))=x$ и $\mathrm{\forall }y\in Yf(f^{-1}(y))=y.$

• Калі функцыі $f$ і $g$ біектыўныя, то і кампазіцыя функцый $g\circ f$ біектыўная, у гэтым выпадку $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Коратка: кампазіцыя біекцый з’яўляецца біекцыяй. Адваротнае, аднак, няверна: калі $g\circ f$ біектыўная, то мы можам казаць толькі, што $f$ ін’ектыўная, а $g$ сюр’ектыўная.

Літаратура

• Шаблон:Кніга