Адмоўнае біномнае размеркаванне

Адмоўнае біномнае размеркаванне — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое мадэлюе колькасць няўдач у шэрагу незалежных і аднолькава размеркаваных Шаблон:Нп5 перад тым, як адбудзецца пэўная, зададзеная параметрам $r$, колькасць поспехаў. Напрыклад, мы можам абазначыць выпаданне 6 на кубіку як поспех, а выпаданне кожнага іншага значэння як няўдачу, і паставіць пытанне, колькі няўдачных выпаданняў адбудзецца, перш чым мы пабачым трэці поспех ($r=3$). У такім выпадку размеркаванне імавернасцей колькасці няўдач будзе адмоўным біномным.

У альтэрнатыўнай фармулёўцы мадэлюецца агульная колькасць выпрабаванняў, а не толькі няўдач.

Азначэнне

Няхай праводзіцца серыя незалежных выпрабаванняў Бернулі: кожнае выпрабаванне мае два магчымыя зыходы, званыя «поспехам» і «няўдачай». У кожным выпрабаванні імавернасць поспеху роўная $p$, а імавернасць няўдачы $1-p$. Выпрабаванні праводзяцца да той пары, пакуль не адбудзецца прадвызначаная колькасць $r$ поспехаў. Тады размеркаванне імавернасцей, якому падпарадкоўваецца колькасць няўдач сярод праведзеных выпрабаванняў, завецца адмоўным біномным размеркаваннем або размеркаваннем Паскаля, і адпаведная выпадковая велічыня абазначаецца як

$X\sim \mathrm{NB}(r,p).$

Функцыя імавернасці

Функцыя імавернасці адмоўнага біномнага размеркавання мае выгляд

$p_{X\sim \mathrm{NB}(r,p)}(k)\equiv \mathrm{Pr}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})(1-p{)}^k{p}^r.$

Значэнне ў дужках — гэта Шаблон:Нп5, роўны

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})=\frac{(k+r-1)!}{(r-1)!(k)!}=\frac{(k+r-1)(k+r-2)\cdots (r)}{k!},$

дзе $k$ няўдач выбіраюцца з $k+r-1$ выпрабавання, а не з $k+r$, бо апошняе выпрабаванне паспяховае і не можа быць няўдачай паводле азначэння.

Гэты біномны каэфіцыент можна запісаць як (абагульнены) біномны каэфіцыент з адмоўнай верхняй часткай, таму размеркаванне і завецца адмоўным біномным:

$\begin{array}{cc}& \frac{(k+r-1)\cdots (r)}{k!}=(-1{)}^k\frac{\stackrel{k\text{ množnikaŭ}}{\overbrace{(-r)(-r-1)(-r-2)\cdots (-r-k+1)}}}{k!}=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-r}{\phantom{-}k}).\end{array}$

Сувязь з іншымі размеркаваннямі

Геаметрычнае размеркаванне

Геаметрычнае размеркаванне — асобны выпадак адмоўнага біномнага размеркавання, калі колькасць поспехаў $r$ роўная 1Шаблон:Rp.

Выпадковую велічыню з адмоўным біномным размеркаваннем можна ўявіць у выглядзе сумы $r$ незалежных выпадковых велічынь з геаметрычным размеркаваннемШаблон:Rp.