Геаметрычнае размеркаванне

Шаблон:Размеркаванне імавернасцей У тэорыі імавернасцей і статыстыцы, пад геаметрычным размеркаваннем маецца на ўвазе адно з двух дыскрэтных размеркаванняў імавернасцей:

• Размеркаванне колькасці $X$ Шаблон:Нп5, неабходных для атрымання аднаго поспеху. Колькасць выпрабаванняў прымае значэнні з мноства $\{1,2,3,\dots \}.$Шаблон:Rp
• Размеркаванне колькасці $Y=X-1$ няўдач да першага поспеху. Колькасць няўдач прымае значэнні $\{0,1,2,\dots \}$.

Азначэнне

Геаметрычнае размеркаванне задае імавернасць таго, што выпрабаванне з нумарам $k$ будзе першым паспяховым у серыі незалежных выпрабаванняў з двума магчымымі зыходамі: поспех і няўдача, дзе імавернасць поспеху кожнага выпрабавання роўная $p$:

$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$

для  k = 1, 2, 3, 4, ….

Паводле іншага азначэння, геаметрычнае размеркаванне мадэлюе колькасць няўдач да першага поспеху:

$P(Y=k)=P(X=k+1)=(1-p{)}^{k}p$

для k = 0, 1, 2, 3, ….

У абодвух выпадках, паслядоўнасць імавернасцей прадстаўляе сабой геаметрычную прагрэсію.

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне

Матэматычнае спадзяванне геаметрычнага размеркавання можна знайсці наступным чынамШаблон:Rp, дзе $q=1-p$:

$𝔼[X]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}kp{q}^{k-1}=p\frac{d}{dq}\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^k\right)=p\frac{d}{dq}\left(\frac{q}{1-q}\right)=$

$=p\frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}-1)=\frac{p}{(1-q{)}^2}=\frac{1}{p}.$

Формулай сумы бясконца спадальнай геаметрычнай прагрэсіі дазваляе скарыстацца той факт, што $0\le q<1.$

Дысперсія

Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з геаметрычным размеркаваннемШаблон:Rp:

$𝔼[X^2]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{2}p{q}^{k-1}=p\frac{d}{dq}\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{q}^k\right)=p\frac{d}{dq}\left(\frac{q}{(1-q{)}^2}\right)=$

$p(\frac{1}{(1-q{)}^2}+\frac{2q}{(1-q{)}^3})=\frac{1}{p}+\frac{2q}{p^2}=\frac{1+q}{p^2}.$

Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:

$Var(X)=𝔼[X^2]-𝔼[X{]}^2=\frac{1+q}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}.$