Рэлятывісцкая механіка

Рэлятыві́сцкая меха́ніка — раздзел фізікі, які разглядае законы механікі (законы руху цел і часціц) пры скарасцях, параўнальных са скорасцю святла. Пры скарасцях, значна меншых за скорасць святла, пераходзіць у класічную (ньютанаўскую) механіку.

Агульныя прынцыпы

У класічнай механіцы прасторавыя каардынаты і час з’яўляюцца незалежнымі (пры адсутнасці сувязей, якія залежаць ад часу), час з’яўляецца абсалютным, гэта значыць, што ён цячэ аднолькава ва ўсіх сістэмах адліку, і дзейнічаюць пераўтварэнні Галілея. У рэлятывісцкай жа механіцы падзеі адбываюцца ў чатырохмернай прасторы (т.зв. «прасторы Мінкоўскага»), якая аб’ядноўвае фізічную трохмерную прастору і час. У прасторы Мінкоўскага пераход ад адной інерцыяльнай сістэмы адліку да другой адпавядае пераўтварэнням Лорэнца. Такім чынам, у адрозненне ад класічнай механікі, адначасовасць падзей залежыць ад выбару сістэмы адліку.

Асноўныя законы рэлятывісцкай механікі — рэлятывісцкае абагульненне другога закона Ньютана і рэлятывісцкі закон захавання энергіі-імпульсу — з’яўляюцца вынікам такога «змяшэння» прасторавых і часавых каардынат пры пераўтварэннях Лорэнца.

Другі закон Ньютана ў рэлятывісцкай механіцы

Сіла вызначаецца як

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt},$

дзе $\overrightarrow{p}$ — рэлятывісцкі імпульс, вызначаны па формуле:

$\overrightarrow{p}=\frac{m\overrightarrow{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$

Каб вызначыць сілу, возьмем вытворную па часу ад апошняга выразу і атрымаем:

$\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=m\gamma \overrightarrow{a}+m{\gamma }^3\overrightarrow{\beta }(\overrightarrow{\beta }\overrightarrow{a}),$

дзе

$\overrightarrow{\beta }:=\frac{\overrightarrow{v}}{c};$

$\gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$

У выніку выраз для сілы набывае выгляд:

$\overrightarrow{F}=m\gamma \overrightarrow{a}+m{\gamma }^3\overrightarrow{\beta }(\overrightarrow{\beta }\overrightarrow{a}).$

Адсюль відаць, што ў рэлятывісцкай механіцы, у адрозненне ад нерэлятывісцкага выпадку, паскарэнне не абавязкова накіраванае па сіле, у агульным выпадку паскарэнне мае таксама і складнік, накіраваны па скорасці.

Функцыя Лагранжа свабоднай часціцы ў рэлятывісцкай механіцы

Запішам інтэграл дзеяння, зыходзячы з прынцыпу найменшага дзеяння:

$S=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha ds,$

дзе $\alpha$ — дадатны лік. Як вядома са спецыяльнай тэорыі адноснасці

$ds=c\sqrt{1-v^2/c^2}dt,$

падстаўляючы ў інтэграл руху, знаходзім:

$S=-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\alpha c\sqrt{1-v^2/c^2}dt.$

Але, з іншага боку, інтэграл руху, можна выразіць праз функцыю Лагранжа: $S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒdt.$ Параўноўваючы апошнія два выразы, няцяжка зразумець, што падынтэгральныя выразы павінны быць роўныя, гэта значыць:

$ℒ=-\alpha c\sqrt{1-v^2/c^2}.$

Далей, раскладзём апошні выраз па ступенях $\frac{v}{c},$ атрымаем:

$ℒ\simeq \alpha c+\frac{\alpha v^2}{2c},$

першы член раскладання не залежыць ад скорасці, а значыць не ўносіць ніякіх змен ва ўраўненні руху. Тады, параўноўваючы з класічным выразам функцыі Лагранжа: $\frac{m{v}^2}{2}$, няцяжка вызначыць пастаянную $\alpha$:

$\alpha =mc.$

Такім чынам, канчаткова атрымліваем выгляд функцыі Лагранжа свабоднай часціцы:

$ℒ=-m{c}^2\sqrt{1-v^2/c^2}.$

Меркаванні, прыведзеныя вышэй, можна разглядаць не толькі для часціцы, але і для адвольнага цела, галоўнае, каб яго часткі рухаліся як адно цэлае.

Гл. таксама

• Тэорыя адноснасці
• Спецыяльная тэорыя адноснасці
• Агульная тэорыя адноснасці

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн С. 9.
• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
• Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
• Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Спасылкі

• Релятивистская механика // Физическая энциклопедия.