Неперарыўная функцыя

Неперарыўная функцыя (неперарыўнае адлюстраванне), або непарыўная функцыя (непарыўнае адлюстраванне) — функцыя без «скачкоў», г.зн. такая, у якой малое змяненне аргумента прыводзіць да малога змянення значэння функцыі.

Строгае азначэнне

ε-δ азначэнне

Няхай $D\subset ℝ$ і $f:D\to ℝ$.

Функцыя $f$ называецца непарыўнаю ў пункце $x_0\in D,$ калі для любога $\epsilon >0$ існуе $\delta >0$ такое, што для любога

$x\in D,|x-x_0|<\delta$

справядліва

$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$

Функцыя $f$ называецца непарыўнаю на мностве $E$, калі яна непарыўная ў кожным пункце мноства.

У гэтым выпадку кажуць, што функцыя $f$ належыць класу $C^0$, і пішуць: $f\in C^0(E)$ ці, падрабязней, $f\in C^0(E,ℝ)$.

Інакш кажучы, функцыя $f$ непарыўная ў пункце $x_0$, гранічным для мноства $D$, калі $f$ мае граніцу ў пункце $x_0$, і гэта граніца супадае са значэннем функцыі $f(x_0)$.

Пункты разрыву

Калі ўмова ў азначэнні непарыўнасці функцыі ў некаторым пункце парушаецца, то кажуць, што функцыя мае ў дадзеным пункце разрыў. Іншымі словамі, калі $A$ — значэнне функцыі $f$ у пункце $a$, то граніца такой функцыі (калі яна існуе) у гэтым пункце не супадае з $A$. На мове наваколляў умова разрыўнасці функцыі $f$ у пункце $a$ атрымліваецца адмаўленнем умовы непарыўнасці функцыі ў дадзеным пункце, а іменна: існуе такое наваколле пункта $A$ вобласці значэнняў функцыі $f$, што як бы мы блізка не падыходзілі к пункту $a$ вобласці вызначэння функцыі $f$, заўсёды знойдуцца такія пункты, чые вобразы будуць за межамі наваколля пункта $A$.

Скасавальныя пункты разрыву

Калі граніца функцыі існуе, але функцыя не вызначана ў гэтым пункце, ці граніца не супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)\ne f(a),$

то пункт $a$ называецца пунктам скасавальнага разрыву функцыі $f$ (у камплексным аналізе — скасавальны асаблівы пункт).

Калі «паправіць» функцыю $f$ у пункце скасавальнага разрыву і прыняць $f(a)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x),$ то атрымаецца функцыя, непарыўная ў дадзеным пункце. Такая аперацыя над функцыяй называецца давызначэннем функцыі да непарыўнай ці давызначэннем функцыі па непарыўнасці, што і абгрунтоўвае назву, як пункта скасавальнага разрыву.

Пункты разрыву першага і другога роду

Калі граніца функцыі ў дадзеным пункце не існуе (і функцыю нельга давызначыць да непарыўнай), то для лікавых функцый узнікае дзве магчымасці, звязаныя з існаваннем у лікавых функцый аднабаковых граніц:

• калі абедзве аднабаковыя граніцы існуюць і канечныя, але хоць адна з іх адрозніваецца ад значэння функцыі ў дадзеным пункце, то такі пункт называюць пунктам разрыву першага роду;
• калі хаця б адна з аднабаковых граніц не існуе ці не з'яўляецца канечнаю велічынёю, то такі пункт называюць пунктам разрыву другога роду.

Уласцівасці

Лакальныя

• Функцыя, непарыўная ў пункце $a$, абмежавана ў некаторым наваколлі гэтага пункта.
• Калі функцыя $f$ непарыўная ў пункце $a$ і $f(a)>0$ (ці $f(a)<0$), то $f(x)>0$ (ці $f(x)<0$) для ўсіх $x$, дастаткова блізкіх да $a$.
• Калі функцыі $f$ і $g$ непарыўныя ў пункце $a$, то функцыі $f+g$ і $f\cdot g$ таксама непарыўныя ў пункце $a$.
• Калі функцыі $f$ і $g$ непарыўныя ў кропцы $a$ і пры гэтым $g(a)\ne 0$, то функцыя $f/g$ таксама непарыўная ў кропцы $a$.
• Калі функцыя $f$ непарыўная ў пункце $a$ і функцыя $g$ непарыўная ў кропцы $b=f(a)$, то іх кампазіцыя $h=g\circ f$ непарыўная ў кропцы $a$.

Глабальныя

• Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любой іншай кампактнай прасторы), раўнамерна непарыўная на ім.
• Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любым іншым кампактным мностве), абмежавана і дасягае на ім свайго найбольшага і найменшага значэння.
• Вобласцю значэнняў функцыі $f$, непарыўнай на адрэзку $[a,b]$, з'яўляецца адрэзак $[\min f,\max f],$ дзе мінімум і максімум бяруцца па адрэзку $[a,b]$.
• Калі функцыя $f$ непарыўная на адрэзку $[a,b]$ і $f(a)\cdot f(b)<0,$ то існуе кропка $\xi \in (a,b),$ у якой $f(\xi )=0.$
• Калі функцыя $f$ непарыўная на адрэзку $[a,b]$ і лік $\phi$ задавальняе няроўнасць $f(a)<\phi <f(b)$ ці няроўнасць $f(a)>\phi >f(b),$ то існуе пункт $\xi \in (a,b),$ у яком $f(\xi )=\phi .$
• Непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў рэчаісную прамую ін'ектыўнае тады і толькі тады, калі дадзеная функцыя на адрэзку строга манатонная.
• Манатонная функцыя на адрэзку $[a,b]$ непарыўная тады і толькі тады, калі вобласць яе значэнняў ёсць адрэзак з канцамі $f(a)$ і $f(b)$.
• Калі функцыі $f$ і $g$ непарыўныя на адрэзку $[a,b]$, прычым $f(a)<g(a)$ і $f(b)>g(b),$ то існуе пункт $\xi \in (a,b),$ у яком $f(\xi )=g(\xi ).$ Адсюль, сярод іншага, вынікае, што любое непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў сябе мае хаця б адзін нерухомы пункт.

Прыклады

Элементарныя функцыі

Адвольныя мнагачлены, рацыянальныя функцыі, паказчыкавыя функцыі, лагарыфмы, трыганаметрычныя функцыі (прамыя і адваротныя) непарыўныя ўсюды ў сваёй вобласці вызначэння.

Функцыя са скасавальным разрывам

Функцыя $f:ℝ\to ℝ,$ вызначаная згодна з формулаю

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0,\end{array}$

непарыўная ў любым пункце $x\ne 0.$ Пункт $x=0$ з'яўляецца пунктам скасавальнага разрыву, бо граніца функцыі

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\ne 0=f(0).$

Функцыя знака

Функцыя

$f(x)=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cc}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array},x\in ℝ$

называецца функцыяй знака.

Гэта функцыя непарыўная ў кожным пункце $x\ne 0$.

Пункт $x=0$ ёсць пунктам разрыву першага роду, прычым

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0-}f(x)=-1\ne 1=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0+}f(x)$,

тады як у самім пункце функцыя раўняецца нулю.

Ступеньчатая функцыя

Ступеньчатая функцыя, вызначаная як

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x⩾0\\ 0,& x<0\end{array},x\in ℝ$

усюды непарыўная, акрамя кропкі $x=0$, дзе функцыя церпіць разрыў першага роду. Тым не менш, у пункце $x=0$ існуе правабаковая граніца, якая супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце. Такім чынам, гэта функцыя з'яўляецца прыкладам непарыўнай справа функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

Гэтак жа, ступеньчатая функцыя, вызначаная як

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array},x\in ℝ$

з'яўляецца прыкладам непарыўнай злева функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

Функцыя Дзірыхле

Шаблон:Main Функцыя

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

называецца функцыяй Дзірыхле. Па сутнасці, функцыя Дзірыхле — гэта характарыстычная функцыя мноства рацыянальных лікаў. Гэта функцыя з'яўляецца ўсюды разрыўнаю функцыяй, бо на любым прамежку ёсць як рацыянальныя, так і ірацыянальныя лікі.

Функцыя Рымана

Функцыя

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},(m,n)=1\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

называецца функцыяй Рымана.

Гэта функцыя з'яўляецца непарыўнаю ўсюды на мностве ірацыянальных лікаў ($ℝ\setminus \mathbb{Q}$), бо граніца функцыі ў кожным ірацыянальным пункце раўняецца нулю.

Варыяцыі і абагульненні

Раўнамерная непарыўнасць

Функцыя $f$ называецца раўнамерна непарыўнаю на $E$, калі для любога $\epsilon >0$ існуе $\delta >0$ такое, што для любых двух пунктаў $x_1$ і $x_2$ такіх, што $|x_1-x_2|<\delta$, спраўджваецца $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.

Кожная раўнамерна непарыўная на мностве $E$ функцыя, відавочна, з'яўляецца таксама і непарыўнаю на ім. Адваротнае, увогуле кажучы, не справядліва. Аднак, калі вобласць вызначэння — кампакт, то непарыўная функцыя аказваецца таксама і раўнамерна непарыўнаю на гэтым адрэзку.

Паўнепарыўнасць

Існуе дзве сіметрычныя адна адной уласцівасці — паўнепарыўнасць знізу і паўнепарыўнасць зверху:

• Функцыя $f$ называецца паўнепарыўнаю знізу ў пункце $a$, калі для любога $\epsilon >0$ існуе такое наваколле $U_E(a)$, што $f(x)>f(a)-\epsilon$ для ўсякага $x\in U_E(a)$;
• Функцыя $f$ называецца паўнепарыўнаю зверху ў пункце $a$, калі для любога $\epsilon >0$ існуе такое наваколле $U_E(a)$, што $f(x)<f(a)+\epsilon$ для ўсякага $x\in U_E(a)$.

Паміж непарыўнасцю і паўнепарыўнасцю ёсць наступная сувязь:

• Калі ўзяць функцыю $f$, непарыўную ў кропцы $a$, і паменшыць значэнне $f(a)$ (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную знізу ў кропцы $a$;
• Калі ўзяць функцыю $f$, непарыўную ў кропцы $a$, і павялічыць значэнне $f(a)$ (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную зверху ў кропцы $a$.

У адпаведнасці з гэтым можна дапусціць для паўнепарыўных функцый бесканечныя значэнні:

• Калі $f(a)=-\mathrm{\infty }$, то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю знізу ў кропцы $a$;
• Калі $f(a)=+\mathrm{\infty }$, то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю зверху ў кропцы $a$.

Аднабаковая непарыўнасць

Функцыя $f$ называецца аднабакова непарыўнаю злева (справа) у кожным пункце $x_0$ сваёй вобласці вызначэння, калі для аднабаковае граніцы справядліва роўнасць:

$f(x_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-0}f(x)$

$(f(x_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+0}f(x))$

Непарыўнасць амаль усюды

На рэчаіснай прамой звычайна разглядаецца простая лінейная мера Лебега. Калі функцыя $f$ такая, што яна непарыўная ўсюды на $E$, акрамя, магчыма, мноства меры нуль, то такая функцыя называецца непарыўнаю амаль усюды.

У тым выпадку, калі мноства пунктаў разрыву функцыі не больш чым злічальнае, мы атрымліваем клас інтэгравальных па Рыману функцый (гл. крытэрый інтэгравальнасці функцыі па Рыману).

Літаратура

• Шаблон:Кніга