Матрыца Якобі

Шаблон:Distinguish Матрыца Яко́бі адлюстравання $𝐮:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ у пункце $x\in {ℝ}^n$ апісвае галоўную лінейную частку адвольнага адлюстравання $𝐮$ у пункце $x$.

Названа ў гонар нямецкага матэматыка Карла Яко́бі.

Азначэнне

Няхай вызначана адлюстраванне $𝐮:{ℝ}^n\to {ℝ}^m,𝐮=(u_1,\dots ,u_m),u_i=u_i(x_1,\dots ,x_n),i=1,\dots ,m,$ якое ў некаторым пункце Шаблон:Math мае ўсе частковыя вытворныя першага парадку. Матрыца $J$, састаўленая з частковых вытворных гэтых функцый у пункце Шаблон:Math, называецца матрыцаю Якобі дадзенай сістэмы функцый.

$J(x)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}(x)& \frac{\partial u_1}{\partial x_2}(x)& \cdots & \frac{\partial u_1}{\partial x_n}(x)\\ \frac{\partial u_2}{\partial x_1}(x)& \frac{\partial u_2}{\partial x_2}(x)& \cdots & \frac{\partial u_2}{\partial x_n}(x)\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial u_m}{\partial x_1}(x)& \frac{\partial u_m}{\partial x_2}(x)& \cdots & \frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x)\end{array}\right)$

Звязаныя азначэнні

• Калі $m=n$, то вызначнік $|J|$ матрыцы Якобі называецца вызначнікам Якобі ці якабія́нам сістэмы функцый $u_1,\dots ,u_n$.
• Адлюстраванне называюць нявыраджаным, калі яго матрыца Якобі мае найбольшы магчымы ранг:

  $\mathrm{rank}J=\min (m,n).$

Уласцівасці

• Калі ўсе $u_i$ непарыўна дыферэнцавальныя ў наваколлі ${𝐱}_0$, то

  $𝐮(x)=𝐮(x_0)+J(x_0)(𝐱-{𝐱}_0)+o(|𝐱-{𝐱}_0|).$

• Няхай $\phi :{ℝ}^n\to {ℝ}^m,\psi :{ℝ}^m\to {ℝ}^k$ — дыферэнцавальныя адлюстраванні, $J_{\phi },J_{\psi }$ — іх матрыцы Якобі. Тады матрыца Якобі кампазіцыі адлюстраванняў роўная здабытку іх матрыц Якобі:

  $J_{\psi \circ \phi }(x)=J_{\psi }(\phi (x))J_{\phi }(x).$