Гаусавы цэлыя лікі

Рашотка гаусавых лікаў на камплекснай плоскасці

Гаусавы цэлыя лікі (гаусавы лікі, цэлыя камплексныя лікі) — гэта камплексныя лікі, у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікіШаблон:Sfn. Упершыню ўведзены Гаусам у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў»Шаблон:Sfn (1828—1832)Шаблон:Sfn. Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць $\mathbb{Z}[i],$ іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў $\mathbb{Z},$ але ёсць і істотныя адрозненні.

Агульныя ўласцівасці

Азначэнне і класіфікацыя

Фармальнае азначэнне:

$\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb{Z}\}.$

Мноства $\mathbb{Z}[i]$ утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў $\mathbb{Z}$ і з’яўляецца яго пашырэннемШаблон:Sfn. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з’яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца колцамШаблон:Sfn. Увесці ў гэтым камплексным колцы ўпарадкаванасць немагчыма. Адзначым таксама, што спалучаны да гаусавага ліку $a+bi$ ёсть таксама гаусаў лік $a-bi.$

Кожны лік $z=a+bi$ задавальняе квадратнае ўраўненне:

$(z-a{)}^2+b^2=0.$

Таму гаусаў лік ёсць цэлы алгебраічны лік.

Норма

Норма для гаусавага ліку $a+bi$ вызначаецца як квадрат яго модуляШаблон:Sfn:

$N(a+bi)=a^2+b^2=(a+bi)\overline{(a+bi)}.$

Уласцівасці нормыШаблон:Sfn:

• Норма роўная нулю толькі для нуля. У астатніх выпадках норма — дадатны цэлы лік.
• Нормы спалучаных лікаў супадаюць.
• Норма звычайнага цэлага ліку роўная яго квадрату.
• Калі норма няцотная, то яна мае від Шаблон:Math, г. зн. пры дзяленні яе на 4 атрымліваецца астача 1. Ніякі гаусаў лік не можа мець норму віду Шаблон:Math.

Норма, як і модуль, мае ўласцівасць мультыплікатыўнасці:

$N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v).$

Адсюль вынікае, што абарачальнымі элементамі колца (дзельнікамі адзінкі) з’яўляюцца тыя элементы, чыя норма роўная 1, г. зн. $\{1;-1;i;-i\}.$

Два гаусавыя лікі называюцца асацыіраванымі, калі адзін атрымліваецца з другога дамнажэннем на дзельнік адзінкі. Лёгка бачыць, што асацыіраванасць — дачыненне эквівалентнасці. Прыклад: гаусавы лікі Шаблон:Math і Шаблон:Math асацыіраваныя, бо:

$1+i=i(1-i).$

У кожнага ненулявога гаусавага ліку ёсць тры асацыіраваныя з ім. Нормы ўсіх чатырох асацыіраваных паміж сабою лікаў супадаюць.

Тэорыя дзялімасці

Дзяленне цалкам

Дзяленне цалкам гаусавых лікаў вызначаецца звычайным чынам: Шаблон:Рамка Кажуць, што гаусаў лік $u$ дзеліцца (цалкам) на гаусаў лік $v$, калі існуе трэці гаусаў лік $q$ такі, што $u=vq$.

Абазначэнне: $v|u.$ Шаблон:/рамка Чытанне: адзін з трох раўназначных варыянтаў,

• $u$ дзеліцца на $v;$
• $v$ дзеліць $u;$
• $v$ — дзельнік $u.$

Ужываюцца традыцыйныя тэрміны: дзеліва ці кратнае ($u$), дзельнік ($v$) і дзель ($q$). Колькасць дзельнікаў гаусавага ліку заўсёды канечная, колькасць кратных бесканечная.

Прыклад: лік 2 дзеліцца цалкам на Шаблон:Math, таму што $2=(1+i)(1-i)$.

Усе гаусавы лікі дзеляцца на дзельнікі адзінкі, таму любы гаусаў лік, які не дзеліць адзінку, мае сама менш 8 дзельнікаў: 4 дзельнікі адзінкі і 4 іх здабыткі на сам лік. Гэтыя дзельнікі называюцца трывіяльныміШаблон:Sfn.

Дзяленне цалкам у $\mathbb{Z}[i]$ па сваіх уласцівасцях падобнае на дзяленне цалкам цэлых лікаў. Некаторыя асаблівасці дзялімасці гаусавых лікаўШаблон:Sfn:

• Калі гаусаў лік $z$ дзеліцца цалкам на звычайны цэлы лік, то на гэты цэлы лік дзеляцца як рэчаісная, так і ўяўная частка $z.$
• Калі $u|v$ і $v|u$, то гэтыя лікі асацыіраваныя.
• Калі $u|v$, то любы з 3 лікаў, асацыіраваных з $v,$ дзеліцца на любы з 3 лікаў, асацыіраваных з $u$.
• Калі $u$ дзеліцца на $v(u=vq)$, то спалучаны да дзялімага ліку $\bar{u}$ дзеліцца на спалучаны да дзельніка $\bar{v}(\bar{u}=\bar{v}\bar{q}).$
• Усе дзельнікі гаусавага ліку $z$ з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы $N(z)=z\cdot \bar{z}.$
• Норма гаусавага ліку цотная тады і толькі тады, калі гэты лік дзеліцца на $1+i.$
• Калі $v|u$, то і норма дзеліва, па мультыплікатыўнасці, дзеліцца цалкам на норму дзельніка. Пры гэтым:

$N\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{N(u)}{N(v)}.$

Геаметрычнае прадстаўленне дзялімасці

У кожнага гаусавага ліку $z$ ёсць 4 кратныя з тою ж нормаю (і, адпаведна, тым жа модулем) — гэта сам $z$ і асацыіраваныя з ім 3 лікі, атрыманыя паслядоўным дамнажэннем $z$ на $i$:

$z,iz,-z,-iz.$

Але дамнажэнне на $i$ геаметрычна на камплекснай плоскасці адпавядае павароту радыус-вектара ліку на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, прычым модуль здабытку будзе той жа. Такім чынам, усе 4 лікі ўтвараюць роўнастаронні крыж (выдзелены чырвоным на рысунку), цэнтр і вяршыні якога кратныя $z$. Паслядоўна ссоўваючы гэты крыж ва ўсе бакі на адну з 4 велічынь, асацыіраваных з $z$, атрымліваем на ўсёй плоскасці квадратную рашотку, усе вузлы якой (вяршыні квадратаў) кратныя $z.$ Напрыклад, на рысунку $4-2i=-2i(1+2i).$ Наадварот, любое кратнае $z$ супадае з адным з вузлоў рашоткі.

Простыя гаусавы лікі

Размеркаванне гаусавых простых лікаў на камплекснай плоскасці (простыя лікі выдзелены чырвоным колерам)

Просты гаусаў лік — гэта ненулявы лік, які не мае іншых дзельнікаў, акрамя трывіяльных. Лік, які не з’яўляецца простым, называецца састаўным. Пры гэтым дзельнікі адзінкі, як і натуральная адзінка, не лічацца ні простымі, ні састаўнымі лікаміШаблон:Sfn.

Некаторыя ўласцівасці простых гаусавых лікаў:

• Калі $a+bi$ — просты гаусаў лік, то і спалучаны з ім гаусаў лік $a-bi$ таксама просты.
• Калі просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам здабытку гаусавых лікаў, то ён з’яўляецца дзельнікам хоць аднаго з сумножнікаў.
• Норма любога простага гаусавага ліку, акрамя асацыіраваных з $1+i$, заўсёды няцотная і таму мае від $4n+1.$

Натуральны просты лік можа не быць гаусавым простым лікам. Напрыклад, лікі 2 і 5 у $\mathbb{Z}[i]$ ужо не простыя:

$2=(1+i)(1-i);5=(2+i)(2-i).$

Узаемна простыя лікі

Калі гаусаў лік $w$ з’яўляецца дзельнікам для двух гаусавых лікаў $u$ і $v$, ён называецца іх агульным дзельнікам. Мноства агульных дзельнікаў двух лікаў заўсёды ўтрымлівае 4 дзельнікі адзінкі; калі іншых агульных дзельнікаў няма, гэтыя лікі называюцца ўзаемна простыміШаблон:Sfn.

Адзначым, што калі нормы гаусавых лікаў $u,v$ узаемна простыя як цэлыя лікі, то і самі лікі $u,v$ узаемна простыя як гаусавы лікі. Адваротнае несправядліва: нормы ўзаемна простых гаусавых лікаў могуць мець агульныя дзельнікі — напрыклад, $5+2i$ і $5-2i$ узаемна простыя, але іх нормы супадаюць і таму не ўзаемна простыя.

Прывядзём дзве ўласцівасці, падобныя на ўласцівасці цэлых лікаў.

• Калі кожны з двух гаусавых лікаў $u,v$ узаемна просты з гаусавым лікам $w,$ то і іх здабытак $uv$ узаемна просты з $w.$
• Калі $z|uv$ і пры гэтым $z$ узаемна просты з $u$, тоШаблон:Sfn $z|v.$

Крытэрый Гауса

Гаус указаў вызначальныя прыкметы простага ліку ў $\mathbb{Z}[i]$Шаблон:Sfn. Шаблон:Рамка Гаусаў лік $a+bi$ з’яўляецца простым тады і толькі тады, калі:

• альбо адзін з лікаў $a,b$ нулявы, а другі — цэлы просты лік віду Шаблон:S;
• альбо $a,b$ абодва не нулі, і норма $a^2+b^2$ — просты натуральны лік.

Шаблон:/рамка Прывядзём прыклады простых гаусавых лікаў.

• Да першай часткі крытэрыя: $\pm 3;\pm 7;\pm 3i.$
• Да другой часткі крытэрыя: $1\pm i;1\pm 2i;1\pm 4i;4+5i;2-3i;15+22i.$

Некаторыя крыніцы дзеля большае яснасці раздзяляюць другую частку крытэрыя на дзвеШаблон:Sfn:

1. Лікі, асацыіраваныя з $1+i.$ Іх норма роўная 2.
2. Лікі, чыя норма ёсць просты натуральны лік віду $4n+1.$

Сам Гаус такога раздзялення не рабіўШаблон:Sfn.

Вынікі.

• Ніякі просты натуральны лік віду $4n+1$ не можа быць простым гаусавым лікам. Простыя натуральныя лікі віду $4n+3$ з’яўляюцца і простымі гаусавымі лікамі.
• Норма простага гаусавага ліку з’яўляецца альбо простым натуральным лікам, альбо квадратам простага натуральнага лікуШаблон:Sfn.
• Просты натуральны лік віду $4n+1$ можна прадставіць як здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў $(a+bi)(a-bi)$ ці, што тое самае, як суму квадратаў $a^2+b^2$. Гэты факт вядомы як Тэарэма Ферма — Эйлера. Іменна пры даследаванні гэтай тэмы, а таксама тэорыі біквадратычных рэшт, Гаус з поспехам прымяніў цэлыя камплексныя лікі. Наадварот, калі просты лік можна прадставіць як суму натуральных квадратаў, то ў $\mathbb{Z}[i]$ ён састаўны і раскладваецца на два спалучаныя гаусавыя простыя.
• Кожны просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам аднаго і толькі аднаго простага натуральнага лікуШаблон:Sfn. Гэта значыць, раскладаючы натуральныя простыя на гаусавы множнікі, можна атрымаць усе гаусавы простыя.

Раскладанне на простыя множнікі

У $\mathbb{Z}[i]$ спраўджваецца аналаг асноўнай тэарэмы арыфметыкі: кожны гаусаў лік, не роўны нулю ці дзельніку адзінкі, раскладаецца на простыя множнікі, прычым гэта раскладанне адназначнае з дакладнасцю да парадку і асацыіраванасці множнікаўШаблон:Sfn.

Прыклад: $5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i).$ Множнікі гэтых двух, з выгляду розных, раскладанняў папарна асацыіраваныя: $1+2i=i(2-i);1-2i=(-i)(2+i),$ так што адназначнасць не парушаецца.

Каб практычна раскласці гаусаў лік $z$ на простыя множнікі, можно выкарыстаць прыведзеную вышэй уласцівасць: усе дзельнікі гаусавага ліку з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы. Пры гэтым норма ўтрымлівае таксама «лішнія» простыя множнікі, якія адпавядаюць спалучанаму з $z$ ліку.

Такім чынам, пачаць трэба з раскладвання нормы ліку $z$ на простыя натуральныя множнікіШаблон:Sfn.

1. Множнік 2, калі ён ёсць у раскладанні нормы, раскладваецца як $(1+i)(1-i)$. Трэба ўключыць у выніковае раскладанне тыя з гэтых множнікаў (у адпаведнай ступені), на якія $z$ дзеліцца цалкам.
2. Акрамя 2, астатнія множнікі нормы — няцотныя. Множнік віду $4n+3$ з’яўляецца простым гаусавым лікам, таму ён дзеліць не толькі норму $N(z)=z\bar{z}$, але і сам $z.$ Але тады гэты множнік дзеліць і спалучаны лік $\bar{z}$. Адсюль выцякае, што множнік віду $4n+3$ уваходзіць у раскладанне нормы заўсёды ў цотнай ступені, а ў раскладанне самога $z$ — у ступені, удвая меншай.
3. Множнік віду $4n+1$ можна раскласці на здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў (ці, што тое самае, на суму квадратаў натуральных лікаў). І тут трэба дзяленнем высветліць, які з сумножнікаў адносіцца да зыходнага ліку, а які — да спалучанага.

Прыклад. Раскладзём на простыя множнікі $9+12i.$ Норма гэтага ліку роўная 225, раскладзём яе на простыя натуральныя множнікі: $225=3^2\cdot 5^2.$ Згодна з вышэйсказаным, $5=(2-i)(2+i).$ Праверкаю пераконваемся, што $9+12i$ дзеліцца толькі на $2+i$ і не дзеліцца на $2-i.$ Дзель $9+12i$ на $3(2+i)$ роўная $2+i,$ таму канчаткова атрымліваем:

$9+12i=3\cdot (2+i{)}^2.$

Тэорыя параўнанняў

Параўнанні па гаусаваму модулю

Паняцце параўнання па модулю вызначаецца ў $\mathbb{Z}[i]$ аналагічна таму, як гэта робіцца для цэлых лікаў: Шаблон:Рамка Няхай $w$ — некаторы гаусаў лік. Два гаусавыя лікі $u,v$ называюцца параўнальнымі па модулю $w$, калі рознасць $u-v$ дзеліцца (цалкам) на $w$.

Гэта запісваецца так: $u\equiv v(\mathrm{mod}w).$ Шаблон:/рамка Уласцівасці параўнанняў у $\mathbb{Z}[i]$ у асноўным такія ж, як у цэлых лікаў. Дачыненне параўнальнасці ёсць дачыненне эквівалентнасці, таму $\mathbb{Z}[i]$ разбіваецца на неперасечныя класы вылікаў — кожны такі клас утрымлівае ўсе параўнальныя адзін з адным (па вызначанаму модулю) гаусавы лікі. Для класаў, як і ў выпадку цэлых лікаў, можна вызначыць складанне і множанне, так што атрымліваецца колца вылікаў па гаусаваму модулю.

Прыклад. Возьмем у якасці модуля параўнання $1+i$. Тады $\mathbb{Z}[i]$ разбіваецца на два класы вылікаў: лікі $a+bi$, у якіх $a,b$ аднолькавай цотнасці, трапяць у адзін клас (які ўтрымлівае кратныя для модуля), а лікі з рознай цотнасцю $a,b$ — у другі.

У гаусавага параўнання ёсць некаторыя асаблівасці. Напрыклад, калі для цэлых лікаў па модулю 3 існуе 3 класы вылікаў з прадстаўнікамі $0;1;2,$ то для гаусавых лікаў па таму ж модулю колькасць класаў значна большая. Іх прадстаўнікі:

$0;1;2;i;1+i;2+i;2i;1+2i;2+2i.$

Як устанавіў Гаус, колца вылікаў па модулю $a+bi$ утрымлівае $N(a+bi)=a^2+b^2$ элементаўШаблон:Sfn. З гэтае прычыны прыходзіцца змяняць фармулёўкі некаторых класічных тэарэм, каб яны заставаліся справядлівымі і для гаусавых лікаў. Напрыклад, малая тэарэма Ферма для цэлых лікаў сцвярджае, што $(a^p-a)$ дзеліцца на $p$ для любога простага $p$ і натуральнага $a$. Для гаусавых лікаў гэта несправядліва, нават калі абмежавацца натуральнымі значэннямі $p$; напрыклад, для цэлых лікаў $a^3-a$ заўсёды дзеліцца на 3, а для гаусавых $i^3-i=-2i$, і гэта значэнне на 3 не дзеліцца. Адпаведнік малой тэарэмы Ферма для гаусавых лікаў фармулюецца наступным чынам: Шаблон:Тэарэма Праверым на тым жа прыкладзе з $w=3;u=i.$ Атрымаем: $(i^9-i)=0$ — дзеліцца на 3.

Назавём клас вылікаў па модулю $w,$ у якім утрымліваецца лік $u,$ абарачальным, калі параўнанне

$ux\equiv 1(\mathrm{mod}w)$

мае рашэнне адносна $x.$ Клас абарачальны тады і толькі тады, калі гаусавы лікі $u$ і $w$ узаемна простыя. У прыватнасці, калі модуль параўнанняў $w$ — гаусаў просты лік, то кожны ненулявы клас вылікаў мае адваротны элемент, а гэта значыць, што класы вылікаў па простаму модулю ў $\mathbb{Z}[i]$, як і ў $\mathbb{Z},$ утвараюць поле.

Функцыя Эйлера для гаусавых лікаў

Увядзём аналаг функцыі Эйлера для гаусавых лікаў. Азначэнне для цэлых лікаў не падыходзіць хаця б таму, што выраз «ад 1 да Шаблон:Math», які ўваходзіць у гэта азначэнне, не мае сэнсу для камплексных лікаў. Новае азначэнне: Шаблон:Рамка Функцыя Эйлера $\phi (z)$ для гаусавага ліку $z$ вызначаецца як лік абарачальных класаў вылікаў па модулю $z.$ Шаблон:/рамка Вызначаная такім чынам функцыя, як і яе прататып для цэлых лікаў, мультыплікатыўная, таму дастаткова знаць яе значэнні для простых лікаў і іх натуральных ступеней. Калі $z$ — просты гаусаў лік, то:

$\phi (z)=N(z)-1;\phi (z^k)=N(z{)}^{k-1}(N(z)-1).$

Прыклад:

$\phi (3+4i)=\phi ((2+i{)}^2)=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20.$

Цяпер можна абагульніць прыведзеную ў папярэднім раздзеле малую тэарэму Ферма на выпадак адвольнага (не абавязкова простага) модуля параўнання, г. зн. прывесці аналаг тэарэмы Эйлера: Шаблон:Рамка Калі гаусаў лік $z$ узаемна просты з модулем $w,$ то:

$z^{\phi (w)}\equiv 1(\mathrm{mod}w)$

Геаметрычнае прадстаўленне параўнання па модулю

Разгледзім для прыкладу параўнанне па модулю $w=1+2i.$ Як сказана ў раздзеле аб геаметрычным прадстаўленні дзялімасці, можна разбіць камплексную плоскасць на квадраты так, што вузлы гэтай рашоткі (вяршыні квадратаў) прадстаўляюць усе магчымыя камплексныя кратныя $1+2i.$ Тады, па азначэнню, лікі параўнальныя па модулю $w$, калі іх рознасць супадае з адным з вузлоў рашоткі кратных.

Кожны квадрат рашоткі атрымліваецца з любога іншага квадрата зрушэннем (пераносам) на велічыню, кратную $w,$ таму рознасць любой кропкі квадрата і выніку яе зрушэння таксама кратная $w.$ Адсюль вынікае канчатковы вывад: Шаблон:Рамка Гаусавы лікі параўнальныя па модулю $w$ тады і толькі тады, калі яны займаюць аднолькавае адноснае становішча ў сваіх квадратах рашоткі кратных. Шаблон:/рамка Напрыклад, параўнальныя ўсе цэнтры квадратаў, ці ўсе сярэдзіны іх адпаведных старон і пад.

Дзяленне з астачаю

Азначэнне

У колцы $\mathbb{Z}[i]$ можна вызначыць дзяленне з астачаю (на любы ненулявы гаусаў лік), увёўшы патрабаванне, каб норма астачы была меншая за норму дзельнікаШаблон:Sfn: Шаблон:Рамка Любы гаусаў лік $u$ можна раздзяліць з астачаю на любы ненулявы гаусаў лік $v$, г. зн. прадставіць у выглядзе:

$u=vq+r,$

тут дзель $q$ і астача $r$ — гаусавы лікі, прычым $N(r)<N(v).$ Шаблон:/рамка Нескладана паказаць, што ў якасці дзелі ад дзялення з астачаю можна ўзяць гаусаў лік, найбліжэйшы да дзелі звычайнага дзялення камплексных лікаўШаблон:Sfn.

Неабходна адзначыць, што ўмова «норма астачы меншая за норму дзельніка» недастатковая, каб гарантаваць адназначнасць астачы ад дзялення цалкам. У $\mathbb{Z}[i],$ у адрозненне ад $\mathbb{Z},$ астача неадназначная. Напрыклад, $7+2i$ можна раздзяліць на $3-i$ двума спосабамі:

$7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3.$

Можна гарантаваць толькі тое, што ўсе астачы пападаюць у адзін клас вылікаў па модулю дзельніка.

Прыклад. Раздзелім з астачаю $11+10i$ на $4+i$. Спачатку знойдзем дзель ад звычайнага камплекснага дзялення:

$\frac{11+10i}{4+i}=\frac{(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{54+29i}{17}\approx 3,17+1,7i$

Найбліжэйшы да выніку гаусаў лік ровен $3+2i,$ тады астача роўная $11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i.$ У выніку атрымліваем:

$11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i.$

Найбольшы агульны дзельнік

Колца гаусавых лікаў з’яўляецца еўклідавым, і ў ім заўсёды можна вызначыць найбольшы агульны дзельнік, прычым адназначна з дакладнасцю да дзельнікаў адзінкіШаблон:Sfn. Шаблон:Рамка Найбольшым агульным дзельнікам НАД$(u,v)$ для гаусавых лікаў $u$ і $v$, хаця б адзін з якіх ненулявы, называецца іх агульны дзельнік $d$, які дзеліцца на любы іншы агульны дзельнік $u$ і $v.$ Шаблон:/рамка Эквівалентнае азначэнне: НАД$(u,v)$ ёсць той агульны дзельнік $u,v$, у якога норма найбольшаяШаблон:Sfn.

Уласцівасці НАД

• Калі вядомы некаторы НАД, то любы з трох лікаў, асацыіраваных з ім, таксама будзе НАД. У прыватнасці, калі адзін з НАД — дзельнік адзінкі, то такімі ж будуць і астатнія тры НАД.
• Гаусавы лікі ўзаемна простыя тады і толькі тады, калі іх НАД ёсць дзельнік адзінкі.
• Мае месца аналаг суадносін БезуШаблон:Sfn:

Шаблон:Рамка Няхай $u,v$ — гаусавы лікі, і хоць адзін з іх не нуль. Тады існуюць такія гаусавы лікі $x,y$, што спраўджваюцца суадносіны:

НАД$(u,v)=xu+yv.$

Іншымі словамі, найбольшы агульны дзельнік двух гаусавых лікаў можна заўсёды прадставіць як лінейную камбінацыю гэтых лікаў з гаусавымі каэфіцыентамі.

• Вынік суадносін Безу: калі гаусавы лікі $u,v$ узаемна простыя, то ўраўненне

$xu+yv=1$

адносна $x,y$ мае рашэнне ў $\mathbb{Z}[i].$ Замест 1 ў прыведзеным ураўненні можа стаяць любы іншы дзельнік адзінкі, тэарэма пры гэтым застанецца вернаю.

Алгарытм Еўкліда і практычнае вылічэнне НАД

Для вызначэння НАД ў $\mathbb{Z}[i]$ зручна карыстацца алгарытмам Еўкліда, цалкам аналагічным таму, які прымяняецца для цэлых лікаў. НАД атрымліваецца ў гэтай схеме як апошняя ненулявая астатачаШаблон:Sfn. Алгарытм Еўкліда можна таксама выкарыстоўваць для знаходжання каэфіцыентаў $x,y$ у суадносінах Безу.

Прыклад 1. Знойдзем НАД для $32+9i$ і $4+11i.$

Крок 1: $32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i$ (падзялілі з астачаю першы лік на другі)

Крок 2: $4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i$ (падзялілі з астачаю папярэдні дзельнік на астачу папярэдняга кроку)

Крок 3: $2-5i=(3-i)(1-i)-i$ (тое ж дзеянне)

Крок 4: $3-i=(-i)(1+3i)$ (тое ж дзеянне, лік падзяліўся цалкам)

Адзначым, што на кожным кроку норма астачы манатонна памяншаецца. Апошняя ненулявая астача роўная $-i$, гэта дзельнік адзінкі, таму робім вывад, што зыходныя лікі ўзаемна простыя.

Прыклад 2. Знойдзем НАД для $11+3i$ і $1+8i.$

Крок 1: $11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i$

Крок 2: $1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)$

Крок 3: $2-4i=(-1+2i)(-2)$ (лік падзяліўся цалкам)

Апошняя ненулявая астача роўная $-1+2i$, гэта і ёсць шукаемы НАД. Паслядоўна падстаўляючы замест левых частак роўнасцей правыя (пачынаючы з прадапошняе роўнасці, знізу ўверх), атрымаем суадносіны Безу для НАД:

$-1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i).$

Некаторыя прыкладанні

Гаус выкарыстаў адкрытую ім алгебраічную структуру для глыбокага даследавання біквадратычных вылікаў. Можна назваць і іншыя вобласці паспяховага прымянення гаусавых лікаўШаблон:Sfn. Паказальна, што значная іх частка адносіцца да тэорыі не камплексных, а натуральных лікаў.

Раскладанне натуральных лікаў на сумы квадратаў

З крытэрыя Гауса выцякае, што просты натуральны лік віду $4n+1$ можна прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў, прычым толькі адным спосабам. Прыклад: $29=(2+5i)(2-5i)=2^2+5^2.$

Раскладанне натуральных лікаў іншага віду не заўсёды магчымае — напрыклад, $15;19;27;103$ і іншыя лікі віду $4n+3$ нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў. Састаўныя лікі могуць таксама мець больш чым адзін спосаб раскладання, напрыклад: $65=4^2+7^2=1^2+8^2.$

Агульная тэарэма: Шаблон:Тэарэма

Прыклад: $35=5\cdot 7$ нельга прадставіць як суму квадратаў, бо лік $7=4\cdot 1+3$ мае няцотную ступень. Але $35\cdot 7=5\cdot 7^2$ прадставіць можна: $245=7^2+14^2.$

Падлік колькасці прадстаўленняў у выглядзе сумы квадратаў

Лік прадстаўленняў $\rho (m)$ натуральнага ліку $m$ у выглядзе сумы квадратаў можна вызначыць наступным чынамШаблон:Sfn. Раскладзём $m$ на простыя натуральныя множнікі:

$m=2^{\lambda }{p}_1^{{\lambda }_1}{p}_2^{{\lambda }_2}\dots p_r^{{\lambda }_r}{q}_1^{{\mu }_1}{q}_2^{{\mu }_2}\dots q_s^{{\mu }_s},$

тут $p_i$ — множнікі віду $4n+1,$ а $q_j$ — множнікі віду $4n+3.$ Тады магчымыя 3 выпадкі.

1. Калі хаця б адзін паказчык ступені ${\mu }_j$ няцотны, лік $m$ нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў.
2. Няхай усе ${\mu }_j$ цотныя. Канчатковая формула залежыць ад цотнасці ${\lambda }_i.$ Калі ўсе яны таксама цотныя, формула выглядае так:

$\rho (m)=\frac{1}{2}[({\lambda }_1+1)({\lambda }_2+1)\cdots ({\lambda }_r+1)+1].$

3. Калі не ўсе ${\lambda }_i$ цотныя, то формула трохі адрозніваецца:

$\rho (m)=\frac{1}{2}({\lambda }_1+1)({\lambda }_2+1)\cdots ({\lambda }_r+1).$

Тэорыя піфагоравых троек

Піфагорава тройка — гэта адно з цэлалікавых рашэнняў ураўнення:

$x^2+y^2=z^2.$

Агульнае рашэнне ўраўнення залежыць ад двух цэлых параметраў $m,n$:

$x=m^2-n^2;y=2mn;z=m^2+n^2.$

Для генерацыі піфагоравых троек можна скарыстаць такі прыём. Няхай $a+bi$ — адвольны гаусаў лік, у якога абедзве кампаненты $a,b$ ненулявыя. Узводзячы гэты лік у квадрат, атрымаем некаторы гаусаў лік $c+di.$ Тады тройка $\{|c|;|d|;N(c+di)\}$ будзе піфагоравай.

Прыклад: для зыходнага ліку $17+12i$ атрымліваем піфагораву тройку: $(145;408;433).$

Рашэнне дыяфантавых ураўненняў

Рашэнне многіх дыяфантавых ураўненняў удаецца знайсці, калі скарыстаць апарат гаусавых лікаў. Напрыклад, для ўраўнення $x^2+y^2=2z^2$ нескладаныя пераўтварэнні даюць два тыпы цэлых узаемна простых рашэнняўШаблон:Sfn, залежных ад цэлых параметраў $a,b$:

1. $x=a^2-2ab-b^2,y=a^2+2ab-b^2;$
2. $x=-a^2-2ab+b^2,y=a^2-2ab-b^2.$

У 1850 годзе Віктор Лебег, выкарыстоўваючы гаусавы лікі, даследаваў ураўненне $x^2+1=y^n$ і даказаў яго невырашальнасць у натуральных ліках. Іншымі словамі, сярод натуральных лікаў віду $n^2+1$ няма ні аднаго поўнага куба ці іншае ступені, вышэйшай за другую.

Нярэшаныя праблемы

• Знайсці колькасць гаусавых лікаў, норма якіх меншая за вызначаную натуральную сталую Шаблон:Math. У раўназначнай фармулёўцы гэта задача вядома як «Гаусава праблема круга» ў геаметрыі лікаў. Гл. Шаблон:OEIS.
• Знайсці прамыя на камплекснай плоскасці, на якіх бесканечна многа простых гаусавых лікаў. Дзве такія прамыя відавочныя — гэта каардынатныя восі; невядома, ці існуюць іншыя.
• Задача, вядомая пад назваю «Гаусаў роў»: ці можна дайсці да бесканечнасці, пераходзячы ад аднаго простага гаусавага ліку да другога скачкамі загадзя абмежаванай даўжыні? Задача пастаўлена ў 1962 годзе і дагэтуль не развязана.

Відазмяненні і абагульненні

Трохвугольная рашотка лікаў Эйзенштэйна

Яшчэ адным гістарычна важным еўклідавым колцам, падобным па ўласцівасцях на цэлыя лікі, сталі «цэлыя лікі Эйзенштэйна».

Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца $\mathbb{Q}(i),$ — гэта камплексныя лікі віду $a+bi$, дзе $a,b$ — рацыянальныя лікі. Гэта мноства замкнута адносна ўсіх 4 арыфметычных аперацый, уключаючы дзяленне, і таму з’яўляецца полем, якое пашырае колца гаусавых лікаў.

Гісторыя

У 1820-х гадах Карл Фрыдрых Гаус даследаваў біквадратычны закон узаемнасці, вынікам стала манаграфія «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Іменна ў гэтай працы праявілася карысць цэлых камплексных лікаў для рашэння задач тэорыі лікаў, хоць фармулёўка гэтых задач ніяк не звязана з камплекснымі лікамі. Гаус пісаў, што «натуральную крыніцу агульнай тэорыі трэба шукаць у пашырэнні вобласці арыфметыкі».

Карл Фрыдрых Гаус у 1828 годзе

У кнізе Гауса было паказана, што новыя лікі па сваіх уласцівасцях шмат у чым напамінаюць звычайныя цэлыя лікі. Аўтар апісаў чатыры дзельнікі адзінкі, вызначыў дачыненне асацыіраванасці, паняцце простага ліку, даў крытэрый прастаты і даказаў аналагі асноўнай тэарэмы арыфметыкі, малой тэарэмы Ферма. Далей Гаус падрабязна разгледзеў рэшты па камплекснаму модулю, індэксы і першаісныя карані. Галоўным дасягненнем пабудаванай тэорыі стаў біквадратычны закон узаемнасці, які Гаус абяцаў даказаць у наступным томе; гэты том так і не быў апублікаваны, але ў Гаусавых рукапісах была знойдзена падрабязная схема строгага доказу.

Гаус выкарыстоўваў уведзеныя ім лікі таксама і ў іншых сваіх працах, напрыклад, па алгебраічных ураўненняхШаблон:Sfn. Ідэі Гауса былі развіты ў працах Карла Густава Якаба Якобі і Фердынанда Готхальда Эйзенштэйна. У сярэдзіне XIX стагоддзя Эйзенштэйн, Дзірыхле і Эрміт увялі і даследавалі абагульненае паняцце цэлага алгебраічнага ліку.

Колца гаусавых цэлых лікаў было адным з першых прыкладаў алгебраічнай структуры з непрывычнымі ўласцівасцямі. З часам была адкрыта вялікая колькасць структур такога тыпу, а ў канцы XIX стагоддзя зарадзілася абстрактная алгебра, якая вывучае алгебраічныя ўласцівасці асобна ад аб’ектаў-носьбітаў гэтых уласцівасцей.

Гл. таксама

• Еўклідава колца
• Квадратычнае поле
• Кватэрніён Гурвіца
• Гаусава праблема круга
• Простыя лікі Эйзенштэйна
• Цэлыя лікі Эйзенштэйна
• Цэлы элемент
• Фактарыяльнае колца

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:КнігаШаблон:Недаступная спасылка
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Артыкул
• Шаблон:Кніга

Спасылкі

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web