0 (лік)

0 (нуль ад Шаблон:Lang-la — ніякі) — цэлы лік, які раздзяляе на лікавай прамой дадатныя і адмоўныя лікі. Выконвае цэнтральную роль у матэматыцы як элемент, Шаблон:Нп5 адносна складання цэлых, рэчаісных лікаў, і іншых Шаблон:Нп5.

У Шаблон:Нп5, напрыклад дзесятковай, нуль выступае яшчэ і як лічба для пазначэння таго, што адпаведная ступень 10 не дамнажаецца ні на што і не дадаецца да выніку. Здаецца, што гістарычна такую канцэпцыю было цяжка прыдумаць.

Асноўныя ўласцівасці нуля

• Нуль не мае знака.
• Любы лік пры складанні з нулём не мяняецца.
• Пры адніманні нуля з любога ліку атрымліваецца той жа лік.
• Дамнажэнне любога ліку на нуль дае нуль.
• Пры дзяленні нуля на любы лік, акрамя самога 0, атрымліваецца нуль. Дзяленне нуля на нуль прыводзіць да нявызначанасці $(0/0)$.
• Нуль з’яўляецца цотным лікам, бо пры дзяленні на 2 атрымліваецца цэлы лік.
• Дзяленне на нуль немагчыма ў прасторы камплексных лікаў. На самай справе, калі абазначыць $\frac{a}{0}=b$, то па азначэнні дзялення фармальна павінна быць $b\cdot 0=a$, у той час як выраз $b\cdot 0$, пры любым камплексным $b$, ровен нулю. Іншымі словамі, для нуля не існуе адваротнага ліку ў прасторы комплексных лікаў. Але гэта магчыма на пашыранай камплекснай плоскасці.
• Пры ўзвядзенні любога ліку, акрамя нуля, ў нулявую ступень па азначэнні атрымліваецца 1: $n^0=1$, пры $n\ne 0$.

Абагульненні

Аналаг нуля можна ўвесці ў любым мностве, на якім вызначана аперацыя складання; у вышэйшай алгебры такі элемент называецца нейтральным элементам (або, у залежнасці ад умоўнай назвы групавой аперацыі, адытыўным нулём, ці мультыплікатыўнай адзінкай). Часцей за ўсё выкарыстоўваецца рэчаісны нуль, г.зн. нуль у кантэксце мноства рэчаісных лікаў. Іншыя распаўсюджаныя варыяцыі:

• Нулявая матрыца
• Нуль-вектар
• Пункт (як нульмерны аб'ект, ці нульмерная прастора)
• Нулявы мнагачлен

Адносіны да натуральных лікаў

Існуюць два падыходы да вызначэння натуральных лікаў — адны аўтары адносяць нуль да натуральных лікаў, іншыя — не. У краінах былога СССР (у тым ліку, і Беларусі) у школьных праграмах па матэматыцы не прынята адносіць нуль да натуральных лікаў (бо натуральнымі лікамі там азначаюцца як лікі, якія выкарыстоўваюцца пры лічэнні, а 0 пры лічэнні не выкарыстоўваецца), хоць гэта абцяжарвае некаторыя фармулёўкі (напрыклад, прыходзіцца адрозніваць дзяленне з астачай і дзяленне без астачы).

Ужыванне

У матэматыцы

• Нулявы лік Фібаначы, нулявы лік Мерсена, нулявы трохвугольны лік і г. д.
• 0! (Нуль фактарыял) вызначаецца як 1.
• Становішчы 0 і 360 градусаў супадаюць
• Нуль функцыі

Нявызначанасці з удзелам нуля

У матэматычным аналізе магчыма 7 нявызначаных сітуацый, у 4 з якіх фармальна прысутнічае нуль (ён абазначае бесканечна малую велічыню):

$\left(\frac{0}{0}\right)$

$(0^0)$

$({\mathrm{\infty }}^0)$

$(0\cdot \mathrm{\infty })$

І цалкам вызначаная сітуацыя, калі разглядаецца граніца бесканечна малой велічыні (справа ці злева):

• Правая граніца: $\underset{x\to 0+0}{\lim }\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{0}\right)=+\mathrm{\infty }$   ці   $\left(\frac{1}{x}\right)\underset{x\stackrel{}{\to }0+0}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }$
• Левая граніца: $\underset{x\to 0-0}{\lim }\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{0}\right)=-\mathrm{\infty }$   ці   $\left(\frac{1}{x}\right)\underset{x\stackrel{}{\to }0-0}{\overset{}{\to }}-\mathrm{\infty }$

У фізіцы

• Абсалютны нуль тэмпературы.

У іншых галінах

• ASCII — код кіруючага сімвала NULL.
• Нулявога года ў юліянскім і Грыгарыянскім календары няма, гэтак жа, як няма нулявога дня ў годзе і нулявога дня ў месяцы. Аднак існуе Шаблон:Нп4, у якім нулявы год ёсць.
• Нулявы кіламетр.

Гісторыя

Старажытны Блізкі Усход

нефер	сэрца з трахеяй прыгожы, прыемны, добры	<hiero>F35</hiero>

Старажытныя егіпецкія лічбы былі дзесятковымі. Іерогліфы выкарыстоўваліся ў якасці лічбаў у Шаблон:Нп5. К 1770 г. да н.э. у егіпцян з’явіўся сімвал нуля ў гаспадарчых тэкстах. Сімвал Шаблон:Нп5, што значыць прыгожы, выкарыстоўвалі яшчэ і для абазначэння базавага ўзроўню на малюнках магільняў і пірамід, ад якога адмяраліся ўсе адлегласці зверху і знізу.

К сярэдзіне 2-га тысячагоддзя да н.э. Шаблон:Нп5 мела складаную Шаблон:Нп5 сістэму злічэння. Адсутнасць пазіцыйнага значэння пазначалася прабелам паміж шасцідзесятковымі лічбамі. На таблічцы, раскапанай у Кішы (якая датуецца яшчэ 700 г. да н. э.), перапісчык Бел-бан-аплу выкарыстаў тры кручкі замест прабелу ў той жа Шаблон:Нп5. К 300 г. да н.э. знак двух нахіленых кліноў ужываўся ў якасці запаўняльніка.

Дакалумбава Амерыка

Нуль у мая

Шаблон:Нп5, распрацаваны ў паўднёва-цэнтральнай частцы Мексікі і Цэнтральнай Амерыцы, патрабаваў выкарыстання нуля ў якасці запаўняльніка ў сваёй Шаблон:Нп5 пазіцыйнай сістэме злічэння. Многія гліфы, у тым ліку частковы Шаблон:Нп5, выкарыстоўваліся ў якасці нулявога сімвала для запісу дат, найраннейшы з якіх (на Стэле 2 у Ч’япа-дэ-Корса, Ч’япас) датуецца 36 г. да н.э.Шаблон:Efn

Восем найраннейшых дат доўгага падліку з’яўляюцца па-за межамі рассялення мая, таму звычайна ўважаецца, што выкарыстанне нуля ў Амерыцы пачалося раней за мая і, магчыма, было вынаходніцтвам альмекаў. Многія з ранніх дат доўгага падліку былі знойдзены ў асяродку рассялення альмекаў, хаця іх цывілізацыя знікла ў 4 стагоддзі да н.э., за некалькі стагоддзяў да найраннейшых вядомых дат доўгага падліку.

Нягледзячы на тое, што нуль стаў неад’емнай часткай Шаблон:Нп5 з пустой чарапахападобнай «формай панцыра», якая часта выкарыстоўвалася для адлюстравання лічбы «нуль», мяркуецца, што гэта не паўплывала на сістэмы злічэння Старога Свету.

Кіпу, прылада з шнуроў з вузламі, якая выкарыстоўвалася ў Імперыі Інкаў і папярэдніх грамадствах у рэгіёне Анд для запісу бухгалтарскіх і іншых лічбавых даных, адпавядае дзесятковай пазіцыйнай сістэме. Нуль прадстаўлены адсутнасцю вузла ў адпаведным становішчы.

Класічная антычнасць

Старажытныя грэкі не мелі сімвала для нуля (Шаблон:Lang-grc, вымаўляецца як «мідэн») і не выкарыстоўвалі лічбавы запаўняльнік для яго. Паводле матэматыка Шаблон:Нп5, старажытныя грэкі сапраўды пачалі карыстацца вавілонскім нулём для прац па астраноміі пасля 500 г. да н.э., прадстаўляючы яго малой грэчаскай літарай ό (о мікрон). Тым не менш, пасля выкарыстання вавілонскага нуля для астранамічных разлікаў яны звычайна пераводзілі лічбы назад у грэчаскія. Грэкі, здавалася, мелі філасофскую апазіцыю да выкарыстання нуля ў якасці ліку. Іншыя навукоўцы прысвойваюць грэчаскаму частковаму прыняццю вавілонскага нуля пазнейшую дату, так навуковец Андрэас Нідэр датуе гэта пасля 400 г. да н.э., а матэматык Роберт Каплан называе перыяд пасля Шаблон:Нп5 .

Грэкі, здаецца, не былі ўпэўненыя ў статусе нуля як ліку. Некаторыя з іх задаваліся пытаннем: «Як небыццё можа быць?», што прывяло да філасофскіх, а ў перыяд сярэднявечча і рэлігійных аргументаў аб прыродзе і існаванні нуля і вакууму. Шаблон:Нп5 Зянона Элейскага шмат у чым грунтуюцца на няпэўнай інтэрпрэтацыі нуля.

Прыклад ранняга грэчаскага сімвала нуля (правы ніжні кут) з папіруса 2-га стагоддзя

К 150 г. нашай эры Пталемей пад уплывам Гіпарха і вавілонян выкарыстоўваў сімвал нуля $\bar{\circ }$ у сваёй працы па тэарэтычнай астраноміі пад назвай Syntaxis Mathematica, таксама вядомай як Шаблон:Нп5. Гэты эліністычны нуль быў, мабыць, самым раннім дакументальна пацверджаным выкарыстаннем лічбы, якая прадстаўляе нуль, у Старым Свеце. Пталамей шмат разоў выкарыстоўваў яго ў сваім Альмагесце (VI.8) для апісання сонечных і месячных зацьменняў.

Самае ранняе выкарыстанне нуля пры Шаблон:Нп5 адбылося да 311 года н.э., у першым запісе ў табліцы Шаблон:Нп5, захаванай у эфіопскім дакуменце за 311—369 гады, з выкарыстаннем Шаблон:Нп5 слова для «нішто» разам з геэзскімі лічбамі (на аснове грэчаскіх лічбаў). Табліца была перакладзена з эквівалентнай табліцы, апублікаванай Шаблон:Нп5 на Шаблон:Нп5. Тое ж фіксуецца ў 525 годзе ў эквівалентнай табліцы, пры перакладзе якой на лацінскую Дыянісій Малы ўжываў слова nulla ў адным шэрагу з рымскімі лічбамі. Калі дзяленне давала нуль у якасці рэшты, выкарыстоўваўся nihil, што азначае «нічога». Гэтыя сярэднявечныя нулі выкарыстоўвалі ўсе наступныя сярэднявечныя вылічальнікі Вялікадня. Ініцыял «N» выкарыстоўваў у якасці нулявога сімвала ў табліцы рымскіх лічбаў Беда Вялебны або яго калегі каля 725 г. н.э.

Кітай

Адлюстраванне нуля з дапамогай кітайскіх Шаблон:Нп5 на прыкладзе з «Гісторыі матэматыкі». Пустая клетка выкарыстоўваецца для прадстаўлення нуля.

Шаблон:Нп5, датаваны, паводле ацэнак, з 1-е па 5-е стагоддзямі нашай эры, і японскія запісы, датаваныя 18-м стагоддзем, апісваюць, як кітайская сістэма Шаблон:Нп5 у 4-м стагоддзі да н.э. дазваляла выконваць дзесятковыя вылічэнні. Як адзначаецца ў Шаблон:Нп5 (425—468 гг. н. э.), каб памножыць або падзяліць лік на 10, 100, 1000 ці 10000, усё, што трэба зрабіць, трымаючы палачкі на дошцы для падліку, гэта перасунуць іх наперад, або назад, на адну, дзве, тры або чатыры клеткі, Згодна з «Гісторыяй матэматыкі», палачкі «давалі дзесятковае прадстаўленне ліку, дзе пустая клетка абазначала нуль». Сістэма лічыльных палачак лічыцца Шаблон:Нп5.

У 690 г. н. э. імператрыца У Цзэцянь абнародавала Шаблон:Нп5, адным з якіх быў «〇» (сін); першапачаткова іерогліф абазначаў зорку, а пазней стаў выкарыстоўвацца для запісу нуля.

Нуль у той час разглядаўся не як лік, а як «пустая пазіцыя». Шаблон:Нп5 Цынь Цзюшаа 1247 года з’яўляецца найстарэйшым захаваным кітайскім матэматычным тэкстам, які выкарыстоўвае круглы сімвал для нуля. Кітайскія аўтары былі знаёмыя з ідэяй адмоўных лікаў у часы дынастыі Хань (2 стагоддзе нашай эры), як відаць у Шаблон:Нп5.

Індыя

Шаблон:Нп5 (прыблізна 3-е/2-е стагоддзі да н.э.), даследуючы метр санскрыцкіх вершаў, выкарыстоўваў двайковыя лікі ў выглядзе кароткіх і доўгіх складоў (апошнія роўныя па даўжыні двум кароткім складам) — запіс, падобны да азбукі Морзэ. Пінгала яўна выкарыстоўваў санскрыцкае слова Шаблон:Нп5 для абазначэння нуля.

Канцэпцыя нуля як пісьмовай лічбы ў дзесятковай пазіцыйнай натацыі была распрацавана ў Індыі. Сімвал нуля, вялікая кропка, якая, верагодна, з’яўляецца папярэднікам распаўсюджанага цяпер пустога сімвала, выкарыстоўваецца ў Шаблон:Нп5, практычным дапаможніку па арыфметыцы для гандляроў. У 2017 годзе радыевугляроднае датаванне паказала, што тры ўзоры з рукапісу паходзяць з трох розных стагоддзяў: з 224—383, 680—779 і 885—993 гг. н.э. Невядома, якім чынам фрагменты берасцянай кары розных стагоддзяў, якія складалі рукапіс, былі ўкладзеныя разам.

Шаблон:Нп5, джайнісцкі тэкст па касмалогіі 458 г. н.э. (эра Сака 380), што захаваўся ў сярэднявечным санскрыцкім перакладзе з пракрыту, выкарыстоўвае дзесятковую Шаблон:Нп5 сістэму з нулём. У гэтым тэксце шунья («пусты») таксама выкарыстоўваецца для абазначэння нуля.

Шаблон:Нп5 (каля 500 г.) сцвярджае, што «ад месца да месца кожнае ў дзесяць разоў перавышае папярэдняе».

Правілы, якія рэгулююць выкарыстанне нуля, з’явіліся ў Шаблон:Нп5 Брахмагупты (7-е стагоддзе), дзе гаворыцца, што сума нуля з самім сабой роўная нулю, і згадваецца дзяленне нуля і Шаблон:Нп5:

Першае вядомае выкарыстанне гліфа нуль у сучасным выглядзе маленькага круга, знойдзена на каменным надпісе ў храме Шаблон:Нп5, Гваліёр, у Індыі, датаваным 876 г.

Сярэднявечча

З'яўленне ў ісламскім свеце

Арабскамоўная навука збольшага грунтавалася на грэчаскай з індускімі ўплывамі. У 773 годзе на загад Шаблон:Нп5 былі зробленыя пераклады многіх старажытных трактатаў, у тым ліку грэчаскіх, рымскіх, індыйскіх і іншых.

У 813 г. н.э. персідскі матэматык Мухамад Аль-Харэзмі падрыхтаваў астранамічныя табліцы, у якіх карыстаўся індыйскімі лікамі. Каля 825 г. ён апублікаваў кнігу ў якой сумяшчалася грэцкая і індуская навука, а таксама яго ўласны ўнёсак у матэматыку, у тым ліку тлумачэнне выкарыстання нуля. Гэтая кніга была перакладзена на лаціну ў XII ст. пад назвай Algoritmi de numero Indorum (Аль-Харэзмі пра лікі індыйцаў). Слова "Algoritmi" было перакладчыцкай лацінізацыяй імя Аль-Харэзмі, і з тых пор пачало набываць значэнне якой-кольвек арыфметычнай працэдуры.

У 976 годзе Мухамад аль-Харэзмі сцвярджаў, што калі ў падліках на месцы дзясяткаў не з'яўляецца лік, трэба выкарыстоўваць маленькі кружок, «каб захаваць радкі». Гэты кружок называўся ṣifr.

З'яўленне ў Еўропе

Дзесятковая Шаблон:Нп5 патрапіла ў Заходнюю Еўропу ў XI ст. праз Аль-Андалус ад іспанскіх мусульман, маўраў, разам з класічнай астраноміяй і такімі інструментамі як астралябія. Вяртанне забытай навукі ў каталіцкую Еўропу прыпісваецца Герберту Арыльякскаму. З гэтай прычыны лічбы сталі вядомыя ў Еўропе як "арабскія лічбы". Італьянскі матэматык Фібаначы, або Леанарда Пізанскі, адыграў важную ролю ў распаўсюдзе сістэмы лікаў у Еўрапейскай матэматыцы, напісаўшы ў 1202 г.:

Пасля прызначэння майго бацькі на радзіме дзяржаўным чыноўнікам на мытні Буджа для пізанскіх гандляроў, якія тоўпіліся ля яе, ён узяў на сябе кіраўніцтва; і для карысці і зручнасці, перавёз мяне малога да сябе і хацеў, каб я прысвяціў сябе і быў навучаны лічэнню некаторы час. Там, пасля майго знаёмства, як следства цудоўнага навучання майстэрству, з дзевяццю лічбамі індусаў, гэтае майстэрства вельмі спадабалася мне перад усімі іншымі, і я зразумеў, што ўсе яго аспекты вывучаліся ў Егіпце, Сірыі, Грэцыі, Сіцыліі і Правансе з іх рознымі метадамі. Я працягваў паглыбленае вывучэнне і навучыўся кампрамісам у спрэчках. Але нават усё гэта, і алгарызм, як і майстэрства Піфагора, я лічыў ледзь не памылкай у параўнанні з метадам індусаў (Modus Indorum). Дзеля таго я больш строга прытрымліваўся гэтага індускага метаду і больш рупліва стараўся яго вывучаць, адначасова дадаючы некаторыя рэчы з майго ўласнага разумення і ўстаўляючы таксама некаторыя рэчы з тонкасцей геаметрычнага майстэрства Эўкліда. Я імкнуўся скласці гэтую кнігу як мага больш зразумелай, падзяліўшы яе на пятнаццаць раздзелаў. Амаль усё, што я прадставіў, я паказаў з дакладнымі доказамі, каб тыя, хто далей паглыбляецца ў гэтую навуку з яе найвыдатнейшым метадам, маглі атрымаць інструкцыі, а таксама каб лацінскі народ не быў пазбаўлены яе, як да гэтага часу. Калі я выпадкова прапусціў што-небудзь больш-менш належнае або неабходнае, прашу паблажлівасці, бо няма нікога, хто быў бы беззаганным і цалкам прадбачлівым ва ўсім. Дзевяць індыйскіх лічбаў: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. З дапамогай гэтых дзевяці лічбаў і са знакам 0 ... можа быць запісаны любы лік.

Тут Леанарда Пізанскі піша "знак 0" маючы на ўвазе што ён падобны да знакаў арыфметычных дзеянняў, такіх як складанне і множанне. З XIII ст. у Еўропе становяцца папулярнымі падручнікі па лічэнні (складанне, множанне, караняванне і інш.), якія называліся Шаблон:Нп5 паводле персідскага матэматыка Аль-Харэзмі. Найвядомейшы падручнік быў напісаны Шаблон:Нп5 каля 1235 г. і ў 1488 г. стаў адной з першых надрукаваных навуковых кніг. Да канца XV-га стагоддзя сярод матэматыкаў, падобна, пераважалі інда-арабскія лічбы, у той час як гандляры аддавалі перавагу рымскім. У XVI стагоддзі арабскія лічбы сталі шырока ўжывацца ў Еўропе.

У Еўропе доўгі час нуль лічыўся ўмоўным знакам і не прызнаваўся лікам. Нават у XVII стагоддзі Валіс пісаў: «Нуль не ёсць лік». У арыфметычных працах адмоўны лік тлумачыўся як доўг, а нуль — як сітуацыя поўнага спусташэння. Поўнаму ўраўнаванню яго ў правах з іншымі лікамі асабліва спрыялі працы Леанарда Эйлера.

Гл. таксама

• -0 і +0 — фіктыўныя паняцці ў матэматычным аналізе.
• Машынны нуль
• Лічба 0
• Адмоўны лік
• Дзельнік нуля
• Лік 1 — мультыплікатыўная адзінка

Спасылкі

• История нуля
• Почему нельзя делить на ноль? Шаблон:Архівавана
• Символика чисел (нуль) Шаблон:Архівавана /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
• О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Шаблон:Архівавана Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
• Свойства числа ноль Шаблон:Ref-ru