Градыент

Аперацыя градыента пераўтварае пагорак (злева), калі глядзець на яго зверху, у поле вектараў (справа). Відаць, што вектары накіраваны «ў горку» і тым даўжэйшыя, чым круцейшы нахіл.

У вектарным злічэнні градые́нт скалярнага поля — вектарнае поле, якое ўказвае напрамак найхутчэйшага нарастання скалярнага поля, а амплітуда гэтага поля ёсць хуткасць нарастання. У дэкартавых каардынатах градыент роўны вектару частковых вытворных функцыі па адпаведных каардынатах.

Напрыклад, калі ўзяць у якасці $\phi$ вышыню паверхні зямлі над узроўнем мора, то яе градыент у кожным пункце будзе паказваць «напрамак самага крутога пад’ёму», а сваёю велічынёй характарызаваць крутасць схілу.

З матэматычнага пункту гледжання градыент — гэта вытворная скалярнай функцыі, вызначанай на вектарнай прасторы.

Прастора, на якой вызначана функцыя і яе градыент, можа быць, увогуле кажучы, як звычайнай трохмернай прасторай, так і прасторай любой іншай размернасці і любой фізічнай прыроды, ці чыста абстрактнай.

Тэрмін упершыню з’явіўся ў метэаралогіі, а ў матэматыку быў уведзены Максвелам у 1873 г. Абазначэнне grad таксама прапанаваў Максвел.

Стандартныя абазначэнні:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi$

або, з выкарыстаннем аператара набла,

$\mathrm{\nabla }\phi$

— замест $\phi$ можа быць любое скалярнае поле, абазначанае любою літарай, напрыклад $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}V,\mathrm{\nabla }V$ — абазначэнне градыента поля V.

Азначэнне

У выпадку трохмернай прасторы градыентам скалярнай функцыі $\phi =\phi (x,y,z)$ каардынат $x$, $y$, $z$ называецца вектарная функцыя з кампанентамі

$(\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z}).$

Абазначыўшы адзінкавыя вектары (орты) па восях прамавугольных дэкартавых каардынат як ${\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z,$ градыент можна запісаць у выглядзе:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi =\mathrm{\nabla }\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{\partial \phi }{\partial y}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{\partial \phi }{\partial z}{\overrightarrow{e}}_z.$

Калі $\phi$ — функцыя $n$ зменных $x_1,\dots ,x_n,$ то яе градыентам называецца $n$-мерны вектар

$(\frac{\partial \phi }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial \phi }{\partial x_n}),$

кампаненты якога роўныя частковым вытворным $\phi$ па яе адпаведных аргументах.

• Размернасць вектара градыента поля вызначаецца, такім чынам, размернасцю прасторы (ці мнагастайнасці), на якой зададзена гэта скалярнае поле.
• Аператарам градыента (які звычайна абазначаюць як $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ або $\mathrm{\nabla }$) называецца аператар, дзеянне якога на скалярную функцыю (поле) дае яе градыент. Гэты аператар іншы раз называюць проста «градыентам».

Сэнс градыента любой скалярнай функцыі $f$ у тым, што яго скалярны здабытак з бесканечна малым вектарам перамяшчэння $d𝐱$ дае поўны дыферэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным змяненні каардынат у прасторы, на якой вызначана $f$, г. зн. лінейную (у выпадку агульнага становішча яна ж галоўная) частку змянення $f$ пры перамяшчэнні на $d𝐱$. Прымяняючы адну і тую ж літару для абазначэння функцыі ад вектара і адпаведнай функцыі ад яго каардынат, можна напісаць:

$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}d{x}_2+\frac{\partial f}{\partial x_3}d{x}_3+\dots =\sum _i\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}𝐟\cdot d𝐱).$

Варта тут заўважыць, што раз формула поўнага дыферэнцыяла не залежыць ад віду каардынат $x_i$, г.зн. ад прыроды параметраў Шаблон:Math увогуле, то атрыманы дыферэнцыял з’яўляецца скалярным інварыянтам пры любых пераўтварэннях каардынат, а раз $d𝐱$ — гэта вектар, то градыент, вылічаны звычайным спосабам, аказваецца каварыянтным вектарам, г.зн. вектарам, прадстаўленым у дуальным базісе, які толькі і можа даць скаляр пры простым складанні здабыткаў каардынат звычайнага (контраварыянтнага), г.зн. вектарам, запісаным у звычайным базісе. Такім чынам, выраз (увогуле кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

$df=\sum _i({\partial }_{i}f)d{x}^i$

ці, апускаючы згодна з правілам Эйнштэйна знак сумы,

$df=({\partial }_{i}f)d{x}^i$

(у ортанарміраваным базісе мы можам пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі вышэй). Аднак градыент аказваецца сапраўдным каварыянтным вектарам у любых крывалінейных каардынатах.

Прыклад

Напрыклад, градыент функцыі $\phi (x,y,z)=2x+3y^2-\sin z$ будзе роўны:

$\mathrm{\nabla }\phi =(\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z})=(2,6y,-\cos z)$

У фізіцы

У розных галінах фізікі выкарыстоўваецца паняцце градыента розных фізічных палёў.

Напрыклад, напружанасць электрастатычнага поля ёсць мінус градыент электрычнага патэнцыялу, напружанасць гравітацыйнага поля (паскарэнне свабоднага падзення) у класічнай тэорыі гравітацыі ёсць мінус градыент гравітацыйнага патэнцыялу. Кансерватыўная сіла ў класічнай механіцы ёсць мінус градыент патэнцыяльнае энергіі.

У прыродазнаўчых навуках

Паняцце градыента прымяняецца не толькі ў фізіцы, але і ў сумежных і нават параўнальна далёкіх ад фізікі навуках (іншы раз гэта прымяненне мае колькасны, а часам і проста якасны характар).

Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастанне ці спаданне па якім-небудзь напрамку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпературы — павелічэнне ці памяншэнне па якім-небудзь напрамку тэмпературы асяроддзя і пад.

Градыент такіх велічынь можа быць выкліканы рознымі прычынамі, напрыклад, механічнаю перашкодаю, дзеяннем электрамагнітных, гравітацыйных ці іншых палёў або адрозненнямі ў растваральнай здольнасці пагранічных фаз.

Геаметрычны сэнс

Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі $\phi$:

$\gamma (h)=\{(x_1,\dots ,x_n):\phi (x_1,\dots ,x_n)=h\}.$

Няцяжка паказаць, што градыент функцыі $\phi$ у кропцы ${\overrightarrow{x}}^0$ перпендыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэту кропку. Модуль градыента паказвае найбольшую скорасць змянення функцыі ў наваколлі ${\overrightarrow{x}}^0$, г.зн. частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні рысуюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыента паказвае крутасць спуску ці пад’ёму ў дадзенай кропцы.

Сувязь з вытворнаю па напрамку

Прымяняючы правіла дыферэнцавання складанай функцыі, няцяжка паказаць, што вытворная функцыі $\phi$ па напрамку $\overrightarrow{e}=(e_1,\dots ,e_n)$ раўняецца скалярнаму здабытку градыента $\phi$ на адзінкавы вектар $\overrightarrow{e}$:

$\frac{\partial \phi }{\partial \overrightarrow{e}}=\frac{\partial \phi }{\partial x_1}{e}_1+\dots +\frac{\partial \phi }{\partial x_n}{e}_n=(\mathrm{\nabla }\phi ,\overrightarrow{e})$

Такім чынам, для вылічэння вытворнай па любым напрамку дастаткова знаць градыент функцыі, то бок вектар, кампаненты якога з’яўляюцца яе частковымі вытворнымі.

Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах

$\mathrm{grad}U(q_1,q_2,q_3)=\frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}{\overrightarrow{e}}_1+\frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}{\overrightarrow{e}}_2+\frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}{\overrightarrow{e}}_3,$

дзе $H_i$ — каэфіцыенты Ламе.

Палярныя каардынаты (на плоскасці)

Каэфіцыенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_1=1;\\ H_2=r.\end{array}$

Адсюль:

$\mathrm{grad}U(r,\theta )=\frac{\partial U}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\overrightarrow{e_{\theta }}.$

Цыліндрычныя каардынаты

Каэфіцыенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_1=1;\\ H_2=r;\\ H_3=1.\end{array}$

Адсюль:

$\mathrm{grad}U(r,\theta ,z)=\frac{\partial U}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{\partial U}{\partial z}\overrightarrow{e_z}.$

Сферычныя каардынаты

Каэфіцыенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_1=1;\\ H_2=r;\\ H_3=r\sin \theta .\end{array}$

Адсюль:

$\mathrm{grad}U(r,\theta ,\phi )=\frac{\partial U}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial U}{\partial \phi }\overrightarrow{e_{\phi }}.$

Гл. таксама

• Вектарны аналіз
• Тэарэма Гаўса
• Формулы вектарнага аналізу
• Аператар набла
• Класічная тэорыя поля
• Градыент канцэнтрацыі
• 4-градыент
• Аператар Кэнні

Літаратура

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30