Прынцып нявызначанасці Гейзенберга

Прынцып нявызначанасці Гейзенберга (або Гайзенберга) у квантавай механіцы — фундаментальная няроўнасць (суадносіны нявызначанасцей), якая ўстанаўлівае граніцу дакладнасці адначасовага вызначэння пары квантавых назіраных, што характарызуюць сістэму, апісваных некамутуруючымі аператарамі (напрыклад, каардынаты і імпульсу, тока і напружання, электрычнага і магнітнага поля). Суадносіны нявызначанасцейШаблон:Efn задае ніжнюю граніцу для здабытку сярэднеквадратычных адхіленняў пары квантавых назіраных. Прынцып нявызначанасці, адкрыты Вернерам Гейзенбергам ў 1927 г., з'яўляецца адным з краевугольных камянёў квантавай механікі.

Кароткі агляд

Суадносіны нявызначанасцей Гейзенберга з'яўляюцца тэарэтычнай граніцай дакладнасці адначасовых вымярэнняў двух некамутуючых назіраных. Яны справядлівыя як для ідэальных вымярэнняў, часам званых вымярэннямі фон Нэймана, так і для неідэальных вымярэнняў.Шаблон:Efn

Згодна з прынцыпам нявызначанасцей у часціцы не могуць быць адначасова дакладна вымераныя становішча і скорасць (імпульс)Шаблон:Efn. Прынцып нявызначанасці ўжо ў выглядзе, першапачаткова прапанаваным Гейзенбергам, прыдатны і ў выпадку, калі не рэалізуецца ні адна з дзвюх крайніх сітуацый (цалкам вызначаны імпульс і цалкам нявызначаная прасторавая каардыната, ці цалкам нявызначаны імпульс і цалкам вызначаная каардыната).

Прыклад: часціца з пэўным значэннем энергіі, якая знаходзіцца ў скрынцы са сценкамі, што ідэальна адбіваюць; яна не характарызуецца ні пэўным значэннем імпульсу (улічваючы яго кірунак!Шаблон:Efn), ні якім-небудзь пэўным «становішчам» або прасторавай каардынатай (хвалевая функцыя часціцы делакалізавана на ўсю прастору скрынкі, гэта значыць яе каардынаты не маюць пэўнага значэння, лакалізацыя часціцы ажыццёўлена не дакладней за памеры скрынкі).

Суадносіны нявызначанасцей не абмяжоўваюць дакладнасць аднаразовага вымярэння любой велічыні (для мнагамерных велічынь тут маецца на ўвазе ў агульным выпадку толькі адна кампанента). Калі яе аператар камутуе сам з сабой у розныя моманты часу, то не абмежаваная дакладнасць і шматразовага (або бесперапыннага) вымярэння адной велічыні. Напрыклад, суадносіны нявызначанасцей для свабоднай часціцы не замінаюць дакладнаму вымярэнню яе імпульсу, але не дазваляе дакладна вымераць яе каардынату (гэта абмежаванне называецца стандартная квантавая граніца для каардынаты).

Суадносіны нявызначанасцей у квантавай механіцы ў матэматычным сэнсе ёсць прамое следства пэўнай уласцівасці пераўтварэння Фур'еШаблон:Efn.

Існуе дакладная колькасная аналогія паміж суадносінамі нявызначанасці Гейзенберга і ўласцівасцямі хваль або сігналаў. Разгледзім пераменны ў часе сігнал, напрыклад гукавую хвалю. Бессэнсоўна казаць пра частотны спектр сігналу ў які-небудзь момант часу. Для дакладнага вызначэння частаты неабходна назіраць за сігналам на працягу некаторага часу, такім чынам губляючы дакладнасць вызначэння часу. Іншымі словамі, гук не можа адначасова мець і дакладнае значэнне часу яго фіксацыі, як яго мае вельмі кароткі імпульс, і дакладнага значэння частаты, як гэта мае месца для бесперапыннага (і ў прынцыпе бясконца доўгага) чыстага тону (чыстай сінусоіды). Часавае становішча і частата хвалі матэматычна цалкам аналагічныя каардынаце і (квантава-механічнаму) імпульсу часціцы. Што зусім не дзіўна, калі ўспомніць, што $p_x=\hslash k_x$, г. зн. імпульс у квантавай механіцы — гэта і ёсць прасторавая частата ўздоўж адпаведнай каардынаты.

У паўсядзённым жыцці мы звычайна не назіраем квантавую нявызначанасць таму, што значэнне $\hslash$ вельмі малое, і таму суадносіны нявызначанасцей накладваюць настолькі слабыя абмежаванні на хібнасці вымярэння, што іх немагчыма заўважыць на фоне рэальных практычных хібнасцейШаблон:Efn нашых прыбораў або органаў пачуццяў.

Вызначэнне

Калі маецца некалькі (шмат) ідэнтычных копій сістэмы ў дадзеным стане, то вымераныя значэнні каардынаты і імпульсу будуць падпарадкоўвацца вызначанаму размеркаванню імавернасці — гэта фундаментальны пастулат квантавай механікі. Вымяраючы велічыню сярэднеквадратычнага адхілення $\mathrm{\Delta }x$ каардынаты і сярэднеквадратычнага адхілення $\mathrm{\Delta }p$ імпульсу, мы знойдзем што:

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p⩾\frac{\hslash }{2},$

дзе Шаблон:Math — прыведзеная пастаянная Планка.

Адзначым, што гэта няроўнасць дае некалькі магчымасцей — стан можа быць такім, што $x$ можа быць вымераны з высокай дакладнасцю, але тады $p$ будзе вядомы толькі прыблізна, ці наадварот $p$ можа быць вызначаны дакладна, у той час як $x$ — не. Ва ўсіх жа іншых станах і $x$, і $p$ могуць быць вымераныя з «разумнай» (але не адвольна высокай) дакладнасцю.

Варыянты і прыклады

Абагульнены прынцып нявызначанасці

Прынцып нявызначанасці не адносіцца толькі да каардынаты і імпульсу (як ён быў упершыню прапанаваны Гейзенбергам). У сваёй агульнай форме ён выкарыстоўваецца і ў дачыненні да кожнай пары спалучаных зменных. У агульным выпадку, і ў адрозненне ад выпадку каардынаты і імпульсу, што абмеркаваны вышэй, ніжняя граніца здабытку «нявызначанасцей» двух спалучаных зменных залежыць ад стану сістэмы. Прынцып нявызначанасці становіцца тады тэарэмай у тэорыі аператараў, якая будзе прыведзена далей.

Тэарэма. Для любых самаспалучаных аператараў : $A:H\to H$ і $B:H\to H$, і любога элемента $x$ з $H$ такога, што $ABx$ і $BAx$ абодва вызначаны (гэта значыць, у прыватнасці, $Ax$ і $Bx$ таксама вызначаны), маем:

$⟨x|AB|x⟩⟨x|BA|x⟩={|⟨Bx|Ax⟩|}^2⩽|⟨Ax|Ax⟩||⟨Bx|Bx⟩|=\Vert Ax{\Vert }^2\Vert Bx{\Vert }^2.$

Гэта прамое следства няроўнасці Кашы — Бунякоўскага.

Такім чынам, справядліва наступная агульная форма прынцыпу нявызначанасці, упершыню выведзеная ў 1930 г. Говардам Персі Робертсанам і (незалежна) Эрвінам Шродзінгерам:

$\frac{1}{4}|⟨x|AB-BA|x⟩{|}^2⩽\Vert Ax{\Vert }^2\Vert Bx{\Vert }^2.$

Гэтую няроўнасць называюць суадносінамі Робертсана — Шродзінгера.

Аператар $AB-BA$ называюць камутатарам $A$ і $B$ і абазначаюць як $[A,B]$. Ён вызначаны для тых $x$, для якіх вызначаны абодва$ABx$ і $BAx$.

З суадносін Робертсана — Шродзінгера адразу вынікаюць суадносіны нявызначанасці Гейзенберга:

Дапусцім, $A$ і $B$ — дзве фізічныя велічыні, якія звязаны з самаспалучанымі аператарамі. Калі $AB\psi$ і $BA\psi$ вызначаныя, тады:

${\mathrm{\Delta }}_{\psi }A{\mathrm{\Delta }}_{\psi }B⩾\frac{1}{2}\left|{⟨[A,B]⟩}_{\psi }\right|,$

дзе:

${⟨X⟩}_{\psi }=⟨\psi |X|\psi ⟩$

— сярэдняе значэнне аператара велічыні $X$ ў стане $\psi$ сістэмы, і

${\mathrm{\Delta }}_{\psi }X=\sqrt{⟨X^2{⟩}_{\psi }-⟨X{⟩}_{\psi }^2}$

— аператар стандартнага адхілення велічыні $X$ ў стане $\psi$ сістэмы.

Прыведзеныя вышэй азначэнні сярэдняга і стандартнага адхілення фармальна вызначаны выключна ў тэрмінах тэорыі аператараў. Сцвярджэнне становіцца аднак больш значным, як толькі мы заўважым, што яны з'яўляюцца фактычна сярэднім і стандартным адхіленнем вымеранага размеркавання значэнняў. Гл. квантавая статыстычная механіка.

Тое ж самае можна зрабіць не толькі для пары спалучаных аператараў (напрыклад каардынаты і імпульсу, або працягласці і энергіі), але наогул для любой пары эрмітавых аператараў. Існуе адносіна нявызначанасці паміж напружанасцю поля і лікам часціц, якая прыводзіць да з'явы віртуальных часціц.

Магчыма таксама існаванне двух некамутуючых самаспалучаных аператараў $A$ і $B$, якія маюць адзін і той жа ўласны вектар $\psi$. У гэтым выпадку $\psi$ прадстаўляе сабой чысты стан, які з'яўляецца адначасова вымерным і для $A$, і для $B$.

Прыклады суадносін нявызначанасцей

Папярэднія матэматычныя вынікі паказваюць, як знайсці суадносіны нявызначанасцей паміж фізічнымі зменнымі, а іменна, вызначыць значэнні пар зменных $A$ і $B$, камутатар якіх мае пэўныя аналітычныя ўласцівасці.

• самая вядомая адносіна нявызначанасці — паміж каардынатай і імпульсам часціцы ў прасторы:

$\mathrm{\Delta }{x}_i\mathrm{\Delta }{p}_i⩾\frac{\hslash }{2}.$

• адносіна нявызначанасці паміж двума артаганальнымі кампанентамі аператара поўнага вуглавога моманту часціцы :

$\mathrm{\Delta }{J}_i\mathrm{\Delta }{J}_j⩾\frac{\hslash }{2}\left|⟨J_k⟩\right|,$

дзе $i,$ $j,$ $k$ розныя і $J_i$ пазначае вуглавы момант ўздоўж восі $x_i$.

• наступная суадносіна нявызначанасці паміж энергіяй і часам часта сустракаецца ў падручніках фізікі, хоць яе інтэрпрэтацыя патрабуе асцярожнасці, бо не існуе аператара, які прадстаўляў бы час:

$\mathrm{\Delta }E\mathrm{\Delta }t⩾\frac{\hslash }{2}.$

• Варта падкрэсліць, што для выканання ўмоў тэарэмы, неабходна, каб абодва самаспалучаныя аператары былі вызначаны на адным і тым жа мностве функцый. Прыкладам пары аператараў, для якіх гэта ўмова парушаецца, можа служыць аператар праекцыі вуглавога моманту $L_z$ і аператар азімутальнага вугла $\phi$. Першы з іх з'яўляецца самаспалучаным толькі на мностве Шаблон:Math-перыядычных функцый, у той час як аператар $\phi$, відавочна, выводзіць з гэтага мноства. Для вырашэння ўзніклай праблемы можна замест $\phi$ ўзяць $\sin \phi$, што прывядзе да наступнай формы прынцыпу нявызначанасці:

$⟨(\mathrm{\Delta }{L}_z{)}^2⟩⟨(\mathrm{\Delta }\sin \phi {)}^2⟩⩾\frac{{\hslash }^2}{4}⟨(\cos \phi {)}^2⟩.$

Аднак, пры $⟨(\phi {)}^2⟩\ll {\pi }^2$ умова перыядычнасці неістотна, і прынцып нявызначанасці прымае звыклы выгляд:

$⟨(\mathrm{\Delta }{L}_z{)}^2⟩⟨(\mathrm{\Delta }\phi {)}^2⟩⩾\frac{{\hslash }^2}{4}.$

Выраз канчатковай даступнай колькасці інфармацыі Фішэра

Прынцып нявызначанасці альтэрнатыўна выводзіцца як выраз няроўнасці Крамера — Раа ў класічнай тэорыі вымярэнняў, у выпадку калі вымяраецца становішча часціцы. Сярэдне-квадратычны імпульс часціцы ўваходзіць у няроўнасць як інфармацыя Фішэра.

Гл. таксама

• Квантавая механіка
• Квантавая фізіка
• Гейзенбаг
• Закон Гудхарта

Літаратура

Часопісныя артыкулы

• W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik, 43 1927, pp 172–198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62–84.
• Л. И. Мандельштам, И. Е. Тамм «Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике», Изв. Акад. Наук СССР (сер. физ.) 9, 122—128 (1945).
• G. Folland, A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey, Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207–238.
• Суханов А.Д. Новый подход к соотношению неопределенностей энергия-время. Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2001. Том 32. Вып.5. С.1177

Аб суадносінах нявызначанасцей Шродзінгера

• Шредингер Э. К принципу неопределенностей Гейзенберга. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976. стр.210-217.
• Додонов В. В., Манько В. И. Обобщения соотношений неопределенностей в квантовой механике. Труды ФИАН СССР. 1987. Том 183 стр.5-70.
• Суханов А. Д. Соотношения неопределенностей Шредингера и физические особенности коррелированно-когерентных состояний, Теоретическая и математическая физика. 2002. Том.132. №.3. С.449—468.
• Суханов А. Д. Соотношение неопределенностей Шредингера для квантового осциллятора в термостате. Теоретическая и математическая физика. 2006. Том.148. №.2. (2006) С.295—308.
• Tarasov V. E., "Uncertainty relation for non-Hamiltonian quantum systems" Journal of Mathematical Physics. Vol.54. No.1. (2013) 012112.Шаблон:Недаступная спасылка
• Тарасов В. Е. Вывод соотношения неопределенностей для квантовых гамильтоновых систем. Московское научное обозрение. 2011. №.10. C.3-6. Шаблон:Архівавана

Спасылкі

• Стэнфардская энцыклапедыя філасофіі (англ.)
• aip.org: Квантавая механіка 1925—1927 — Прынцып нявызначанасці (англ.) Шаблон:Архівавана
• Свет фізікі Эрыка Вайсштэйна — Прынцып нявызначанасці (англ.)
• Ураўненне Шродзінгера з дакладнага прынцыпу нявызначанасці (англ.)
• Джон Бэз аб суадносінах нявызначанасці час-энергія (англ.)