Срыніваса Рамануджан

У гэтага чалавека тамільскае імя без прозвішча. Рамануджан — імя, Срыніваса — імя па бацьку, Аенгор — каста. Шаблон:Вучоны Срыніва́са Рамануджа́н Аенго́р (Шаблон:Audio; Шаблон:Lang-ta; Шаблон:Lang-en) (22 снежня 1887 — 26 красавіка 1920) — індыйскі матэматык.

Не маючы спецыяльнай матэматычнай адукацыі, атрымаў выдатныя вынікі ў галіне тэорыі лікаў. Найбольш значная яго праца сумесна з Г. Хардзі па асімптотыцы ліку разбіццяў $p(n)$.

Біяграфія

Дом Рамануджана на вуліцы Сарангапані ў горадзе Кумбаконам

Рамануджан Срыніваса нарадзіўся 22 снежня 1887 г. на поўдні Індыі. Бацька працаваў бухгалтарам у невялікай тэкстыльнай краме ў горадзе Кумбаканаме Танджорскага раёна Мадраскай правінцыі. Маці была глыбока рэлігійная. Рамануджан выхоўваўся ў строгіх традыцыях замкнёнай касты брахманаў. Ужо ў школе праявіліся яго выдатныя здольнасці да матэматыкі, і знаёмы студэнт з горада Мадраса даў яму кнігі па трыганаметрыі. У 14 гадоў Рамануджан адкрыў формулу Эйлера аб сінусе і косінусе і быў вельмі засмучаны, даведаўшыся, што яна ўжо апублікавана. У 16 гадоў у яго рукі трапіла двухтомнае сачыненне матэматыка Шубрыджа Кара «Зборнік элементарных вынікаў чыстай і прыкладной матэматыкі», напісанае амаль за чвэрць стагоддзя да гэтага (пасля, дзякуючы сувязі з іменем Рамануджана, гэтая кніга была падвергнута грунтоўнаму аналізу). У ім было змешчана 6165 тэарэм і формул, практычна без доказаў і тлумачэнняў. Юнак, які не меў ні доступу ў ВНУ, ні зносін з матэматыкамі, пагрузіўся ў зносіны з гэтым зборам формул. Такім чынам, у яго склаўся пэўны спосаб мыслення, своеасаблівы стыль доказаў. У гэты перыяд і вызначыўся матэматычны лёс Рамануджана.

У 1913 году вядомы прафесар Кембрыджскага ўніверсітэта Г. Хардзі атрымаў дзіўны ліст. Адпраўшчык (а гэта быў Рамануджан) паведамляў, што ён не заканчваў універсітэта, а пасля сярэдняй школы займаецца матэматыкай самастойна. Да пісьма былі прыкладзеныя формулы, аўтар прасіў іх апублікаваць, калі яны цікавыя, бо сам ён бедны і не мае для публікацыі дастатковых сродкаў. Паміж Кембрыджскім прафесарам і індыйскім клеркам завязалася ажыўленая перапіска, у выніку якой у Хардзі назапашваецца каля 120 формул, невядомых навуцы. Па патрабаванні Г. Хардзі ў 27-гадовым узросце Рамануджан пераязджае ў Кембрыдж. Там ён становіцца прафесарам універсітэта, яго выбіраюць у Лонданскае каралеўскае таварыства. Друкаваныя працы з яго формуламі выходзяць адна за адной, выклікаючы здзіўленне, а часам і разгубленасць калег.

У фарміраванні матэматычнага свету Рамануджана пачатковы запас матэматычных фактаў аб’яднаўся з велізарным запасам назіранняў над канкрэтнымі лікамі. Ён калекцыяніраваў такія факты з дзяцінства. Ён валодаў дзіўнай здольнасцю падмячаць велізарны лікавы матэрыял. Па словах Хардзі, «кожны натуральны лік быў асабістым другам Рамануджана». Многія матэматыкі яго часу лічылі Рамануджана проста экзатычнай з’явай, і што ён спазніўся нарадзіцца на 100 гадоў. Не перастаюць здзіўляцца праніклівасці індыйскага генія і матэматыкі нашага часу.

Навуковыя інтарэсы і вынікі

Сфера яго матэматычных інтарэсаў была вельмі шырокая. Гэта магічныя квадраты, квадратура круга, бесканечныя рады, гладкія лікі, разбіцці лікаў, гіпергеаметрычныя функцыі, спецыяльныя сумы і функцыі, якія цяпер носяць яго імя, вызначаныя інтэгралы, эліптычныя і мадулярныя функцыі.

Ён знайшоў некалькі асобных рашэнняў ураўнення Эйлера (гл. Задача аб чатырох кубах), сфармуляваў каля 120 тэарэм (у асноўным у выглядзе выключна складаных тоеснасцей). Сучаснымі матэматыкамі Рамануджан лічыцца найбуйнейшым знаўцам ланцуговых дробаў у свеце. Адным з самых выдатных вынікаў Рамануджана ў гэтай галіне з’яўляецца формула, у адпаведнасці з якой сума простага лікавага рада з ланцуговым дробам у дакладнасці роўная выразу, у якім прысутнічае здабытак $e$ на $\pi$:

$1+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}+\dots +\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\frac{5}{1+\dots }}}}}}=\sqrt{\frac{e\cdot \pi }{2}}.$

Матэматыкам добра вядома формула вылічэння ліку $\pi$, атрыманая Рамануджанам ў 1910 шляхам раскладання арктангенса ў рад Тэйлара:

$\pi =\frac{9801}{2\sqrt{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!}{(k!{)}^4}\times \frac{[1103+26390k]}{(4\times 99{)}^{4k}}}.$

Ужо пры Шаблон:Math дасягаецца велізарная дакладнасць — шэсцьсот верных значных лічбаў!

Прыклады бесканечнай сумы, знойдзенай Рамануджанам:

$1-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+9{\left(\frac{1\times 3}{2\times 4}\right)}^3-13{\left(\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}\right)}^3+\dots =\frac{2}{\pi }.$

$1+9{\left(\frac{1}{4}\right)}^4+17{\left(\frac{1\times 5}{4\times 8}\right)}^4+25{\left(\frac{1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}\right)}^4+\cdots =\frac{2^{\frac{3}{2}}}{{\pi }^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}.$

Гэтая незвычайная формула — адна з прапанаваных ім у першым пісьме да Хардзі. Доказ гэтай роўнасці неэлементарны.

Іншыя формулы Рамануджана не менш прыгожыя:

$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots }}}}=3.$

$x^3+y^3+z^3=w^3$ , дзе

$x=3a^2+5ab-5b^2$

$y=5a^2-5ab-3b^2$

$z=4a^2-4ab+6b^2$

$w=6a^2-4ab+4b^2$

Прызнанне і ацэнкі

Хардзі дасціпна пракаменціраваў вынікі, паведамленыя яму Рамануджанам: «Яны павінны быць праўдзівымі, бо калі б яны не былі праўдзівымі, то ні ў каго не хапіла б ўяўлення, каб вынайсці іх». Яго формулы часам усплываюць у самых сучасных раздзелах навукі, пра якія ў яго час ніхто нават не здагадваўся.

Сам Рамануджан гаварыў, што формулы яму ў сне падказвае багіня Шаблон:Нп2 (Махалакшмі) (Шаблон:Lang-hi), якой пакланяюцца ў Намакале (Шаблон:Lang-ta).

Каб захаваць спадчыну гэтага дзіўнага, ні на каго не падобнага матэматыка, была выдадзена кніга з фотакопіямі яго чарнавікоў.

Паняцці, звязаныя з іменем Рамануджана

Іменем Рамануджана названыя:

• Гіпотэза Рамануджана
• Сумы Рамануджана
• Функцыя Рамануджана
• Канстанта Ландау - Рамануджана
• Лік Рамануджана - Хардзі
• Тоеснасць Роджэрса - Рамануджана
• Тэарэма Хардзі - Рамануджана
• Тоеснасць Дугала - Рамануджана
• Графы Рамануджана

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Артыкул
• Шаблон:Артыкул
• Шаблон:Артыкул
• Шаблон:Кніга (альтернативная ссылка Шаблон:Архівавана)
• Шаблон:Артыкул
• Шаблон:Кніга

Спасылкі

• Список литературы о Рамануджане в рунете