Табліца вытворных

Шаблон:Calculus Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.

Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.

Вытворныя найпрасцейшых функцый

Вытворныя ступенных функцый і мнагачленаў

• Ступеневае правіла: няхай $f(x)=x^n$, тады для любога рэчаіснага паказніка Шаблон:Math праўдзіцца роўнасць

  $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}.$

• Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай:

  калі функцыя Шаблон:Math ёсць [[сталая велічыня|стаШаблон:Націсклаю функцыяй]] (г. зн. для любых Шаблон:Math значэнне функцыі аднолькавае і роўнае Шаблон:Math, дзе Шаблон:Math некаторы нязменны лік), то яе вытворная Шаблон:Math ёсць тоесным нулём:

  $(c{)}^{\prime }=0.$

• Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада:

  $(a_n{x}^n+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0{)}^{\prime }=n{a}_n{x}^{n-1}+\dots +2a_{2}x+a_1.$

• Вытворная модуля

  $(|x|{)}^{\prime }=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0.$

Вытворныя паказнікавых і лагарыфмічных функцый

• Вытворная паказнікавай функцыі:

  $(e^x{)}^{\prime }=e^x.$

• Вытворная паказнікавай функцыі з асновай Шаблон:Math:

  $(b^x{)}^{\prime }=b^x\ln b,b>0.$

• Вытворная натуральнага лагарыфма:

  $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}.$

• Вытворная лагарыфма з асноваю Шаблон:Math:

  $({\log }_{b}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln b},b>0,b\ne 1.$

Табліца вытворных

Вытворныя трыганаметрычных функцый

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1$
$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1$
$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x=1+{\mathrm{tg}}^{2}x$	$(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x=-(1+{\mathrm{ctg}}^{2}x)$	$(\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\cdot \mathrm{tg}x$	$(\mathrm{arcsec}x{)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1$
$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cdot \mathrm{ctg}x$	$(\mathrm{arccsc}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1$

Вытворныя гіпербалічных функцый

$(\mathrm{sh}x{)}^{\prime }=\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arsh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(\mathrm{ch}x{)}^{\prime }=\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arch}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},x>1$
$(\mathrm{th}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}={\mathrm{sech}}^{2}x$	$(\mathrm{arth}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2},|x|<1$
$(\mathrm{cth}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\mathrm{sh}}^{2}x}=-{\mathrm{csch}}^{2}x$	$(\mathrm{arcth}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2},|x|>1$
$(\mathrm{sech}x{)}^{\prime }=-\mathrm{th}x\cdot \mathrm{sech}x$	$(\mathrm{arsech}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}},0<x<1$
$(\mathrm{csch}x{)}^{\prime }=-\mathrm{cth}x\cdot \mathrm{csch}x$	$(\mathrm{arcsch}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$

Правілы дыферэнцавання

Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання)

Для любых дыферэнцавальных функцый Шаблон:Math і Шаблон:Math і любых сталых Шаблон:Math і Шаблон:Math вытворная функцыі Шаблон:Math па зменнай Шаблон:Math раўняецца

$(af(x)+bg(x){)}^{\prime }=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x).$

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:

$\frac{d(af+bg)}{dx}=a\frac{df}{dx}+b\frac{dg}{dx}.$

Адмысловыя выпадкі:

• Вытворная здабытку функцыі і сталай велічыні:

$(af{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }.$

• Вытворная суммы:

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }.$

• Вытворная рознасці:

$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }.$

Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)

Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый Шаблон:Math і Шаблон:Math можна вылічыць па формуле

$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:

$\frac{d(fg)}{dx}=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx}.$

Вытворная дзелі

• Вытворная функцыі Шаблон:Math для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі Шаблон:Math раўняецца

  $\left(\frac{1}{f(x)}\right)=-\frac{f^{\prime }(x)}{[f(x){]}^2}.$

  Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:

  $\frac{d(1/f)}{dx}=-\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.$

• Вытворная дзелі дзвюх функцый. Калі Шаблон:Math і Шаблон:Math ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго Шаблон:Math, тады:

  $\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}.$

Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла)

Вытворная складанай функцыі Шаблон:Math па зменнай Шаблон:Math раўняецца

$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).$

У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:

$\frac{dh}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot \frac{dg(x)}{dx}.$

Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы Шаблон:Math як функцыю ад фармальнага аргумента Шаблон:Math:

$\frac{dh}{dx}=\frac{dh}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}.$

Вытворная адваротнай функцыі

Калі дыферэнцавальная функцыя Шаблон:Math маШаблон:Націске адваротную функцыю Шаблон:Math (г.зн. праўдзяцца тоеснасці Шаблон:Math і Шаблон:Math), тады

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(g(x))}.$

У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}.$

Заўвага: нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.

Вытворная складана-ступеневай функцыі

Няхай Шаблон:Math і Шаблон:Math ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго Шаблон:Math, тады

$(f^g{)}^{\prime }=\left(e^{g\ln f}\right)=f^g(g\frac{f^{\prime }}{f}+g^{\prime }\ln f).$

Адмысловыя выпадкі:

• Калі Шаблон:Math, атрымліваем Шаблон:Math для любых рэчаісных паказнікаў Шаблон:Math і любога дадатнага значэння зменнай Шаблон:Math.
• Калі Шаблон:Math, формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.

Гл. таксама

• Вытворная функцыі

Літаратура

• Шаблон:Кніга