Цотнасць функцыі

$f(x)=x$ — прыклад найпрасцейшай няцотнай функцыі.

Цотнымі ці няцотнымі называюцца функцыі, чые графікі маюць пэўны тып сіметрыю адносна змянення знака аргумента. Гэта паняцце важнае ў многіх галінах матэматычнага аналізу, такіх як тэорыя ступенных радоў і радоў Фур'е.

$f(x)=x^2$ — прыклад цотнай функцыі.

$f(x)=x^3$ няцотная

$f(x)=x^3+1$ ні цотная, ні няцотная.

• Няцотная функцыя — функцыя, якая мяняе значэнне на процілеглае пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна цэнтра каардынат).
• Цотная функцыя — функцыя, якая не мяняе свайго значэння пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна восі ардынат).
• Ні цотная, ні няцотная функцыя (функцыя агульнага віду) — функцыя, якая не мае сіметрыі. Сюды адносяцца функцыі, якія не падыходзяць ні пад адно з папярэдніх двух азначэнняў.

Строгае азначэнне

Азначэнні ўводзяцца для любой сіметрычнай адносна нуля вобласці вызначэння $X\subset ℝ$, напрыклад, адрэзка ці прамежка.

• Функцыя $f$ называецца цотнаю, калі справядліва роўнасць

$f(-x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in X.$

• Функцыя $f:X\to ℝ$ называецца няцотнаю, калі справядліва роўнасць

$f(-x)=-f(x),\mathrm{\forall }x\in X.$

• Функцыі, якія не належаць ні адной з вышэйназваных катэгорый, называюцца ні цотнымі ні няцотнымі (ці функцыямі агульнага віду).

Уласцівасці

• Графік няцотнае функцыі сіметрычны адносна пачатку каардынат $O$.
• Графік цотнае функцыі сіметрычны адносна восі ардынат $Oy$.
• Адвольную функцыю $f:[-X,X]\subset ℝ\to ℝ$ можна адназначна прадставіць як суму цотнай і няцотнай функцый:

$f(x)=g(x)+h(x),$

дзе

$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2},h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}.$

• Функцыя $f(x)=0$ — адзіная функцыі, цотная і няцотная адначасова.
• Сума, рознасць і ўвогуле любая лінейная камбінацыя цотных функцый цотная, а няцотных — няцотная.
• Здабытак дзвюх функцый аднолькавае цотнасці цотны.
• Здабытак дзвюх функцый рознае цотнасці няцотны.
• Кампазіцыя дзвюх няцотных функцый няцотная.
• Кампазіцыя цотнае функцыі з цотнаю ці няцотнаю функцыяй цотная.
• Кампазіцыя любое функцыі з цотнаю цотная (але не наадварот!).
• Вытворная цотнае функцыі няцотная, а няцотнай — цотная.
• Інтэграл ад цотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны падвоенаму інтэгралу па палавіне прамежка:

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=2\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f(x)dx.$

• Інтэграл ад няцотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны нулю:

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0.$

Прыклады

Няцотныя функцыі

• Няцотная ступень $f(x)=x^{2k+1},x\in ℝ,$ дзе $k\in \mathbb{Z}$ — адвольны цэлы лік.
• Сінус $f(x)=\sin x,x\in ℝ$.
• Тангенс $f(x)=\mathrm{tg}x,x\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.

Цотныя функцыі

• Цотная ступень $f(x)=x^{2k},x\in ℝ,$ дзе $k\in \mathbb{Z}$ — адвольны цэлы лік.
• Косінус $f(x)=\cos x,x\in ℝ$.
• Абсалютная велічыня (модуль) $f(x)=|x|$.

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld