Вызначнік (алгебра)

Вызначнік (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад Шаблон:Math зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).

Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.

Строгае азначэнне

Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы

Няхай

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right).$

Вызначнік Шаблон:Math-матрыцы Шаблон:Math − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:

$\det A=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}{a}_{2,\sigma (2)}\dots a_{n,\sigma (n)},$

дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках Шаблон:Math мноства Шаблон:Math, Шаблон:Math − знак перастаноўкі Шаблон:Math, роўны +1, калі Шаблон:Math цотная, і роўны -1, калі Шаблон:Math няцотная.

Праз адметныя ўласцівасці

Няхай

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

− матрыца, каэфіцыенты Шаблон:Math якой належаць колцу Шаблон:Math, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.

Абазначым праз Шаблон:Math Шаблон:Math-ты слупок матрыцы Шаблон:Math:

$a_i=\left(\begin{array}{c}{a}_{i1}\\ a_{i2}\\ \dots \\ a_{in}\end{array}\right).$

Вызначнікам называецца функцыя ад матрыцы Шаблон:Math, якая прымае значэнні з колца Шаблон:Math і задавальняе наступныя ўмовы:

1. Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:

   $\det E=1$

2. Вызначнік як функцыя ад Шаблон:Math слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):

   $\det \left[\begin{array}{ccccc}{a}_1& \dots & \lambda a{\text{'}}_j+\mu a^{\prime }{\text{'}}_j& \dots & a_n\end{array}\right]=\lambda \det \left[\begin{array}{ccccc}{a}_1& \dots & a{\text{'}}_j& \dots & a_n\end{array}\right]+\mu \det \left[\begin{array}{ccccc}{a}_1& \dots & a^{\prime }{\text{'}}_j& \dots & a_n\end{array}\right]$

3. Вызначнік як функцыя ад Шаблон:Math слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):

   $\det \left[\begin{array}{cccccc}{a}_1& \dots & a_j& a_{j+1}& \dots & a_n\end{array}\right]=-\det \left[\begin{array}{cccccc}{a}_1& \dots & a_{j+1}& a_j& \dots & a_n\end{array}\right]$

Уласцівасці

• Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:

  $\det E=1$

• Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:

  $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$

• Няхай Шаблон:Math ёсць скалярнай велічынёю, Шаблон:Math з'яўляецца квадратнай матрыцай парадку Шаблон:Math. Тады

  $\det (rA)=r^n\det (A)$

• Транспанаванне не змяняе велічыні вызначніка:

  $\det A^T=\det A$

• Няхай колца Шаблон:Math ёсць полем. Тады

  $\det (A^{-1})=(\det A{)}^{-1}$

• Калі матрыца Шаблон:Math трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: Шаблон:Math пры Шаблон:Math; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: Шаблон:Math пры Шаблон:Math), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:

  $\det A=a_{11}{a}_{22}\dots a_{nn}.$

Вызначнікі малых парадкаў

Для матрыцы першага парадку вызначнік роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{c}{a}_{11}\end{array}\right|=a_{11}$

Для матрыцы Шаблон:Math вызначнік роўны

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

Для матрыцы Шаблон:Math вызначнік можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як раскаданне па першым радку):

$\mathrm{\Delta }=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}{a}_{1j}{M}_{1j},$

дзе $M_{1j}$ — дадатковы мінор элемента $a_{1j}.$

Заўвага: каб атрымаць дадатковы мінор Шаблон:Math элемента Шаблон:Math, трэба закрэсліць Шаблон:Math-ты радок і Шаблон:Math-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.

Адсюль вынікае, што вызначнік матрыцы Шаблон:Math раўняецца:

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|=$

$=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$

Літаратура

• Шаблон:Кніга