Сума

Су́ма (Шаблон:Lang-la — вынік) — вынік аперацыі складання велічынь (лікаў, функцый, вектараў, матрыц Шаблон:Nobr). Агульнымі для ўсіх выпадкаў з'яўляюцца ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці для аперацыі складання, а таксама дыстрыбутыўнасці ў адносінах да множання (калі для разгляданых велічынь множанне вызначана), гэта азначае выкананне суадносін:

• перастаўляльны закон

а + b = b + a

• спалучальны закон

а + (b + c) = (а + b) + c

• правы размеркавальны закон

(а + b)с = ас + bc

• левы размеркавальны закон

с(а + b) = ca + cb

У тэорыі мностваў сумай (ці аб'яднаннем) мностваў называецца мноства, элементамі якога з'яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.

Вызначаная сума

Часта суму n складнікаў a_k, a_k+1, …, a_N абазначаюць вялікай літарай гречаскай літарай Σ (сігма):

$a_k+a_{k+1}+...+a_N=\sum _{i=k}^N{a}_i$

Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай a_i паi ад k да N.
Для зручнасці замест $\sum _{i=k}^N{a}_i$, асабліва калі складваць трэба не ўсе складнікі, а толькі тыя, чый нумар задавальняе пэўную ўмову, часам пішуць $\sum _{P(i)}^{}{a}_i$, дзе $P(i)$ — некаторая ўмова для $i$, такім чынам $\sum _{P(i)}^{}{a}_i$ гэта канечная сума ўсіх $a_i$, дзе $i\in Z:P(i)$
Уласцівасці вызначанай сумы:

1. $\left(\sum _{i=k_1}^{k_2}{a}_i\right)\left(\sum _{j=p_1}^{p_2}{b}_j\right)=\sum _{i=k_1}^{k_2}\left(\sum _{j=p_1}^{p_2}{a}_i{b}_j\right)$
2. $\sum _{i=k_1}^{k_2}\sum _{j=p_1}^{p_2}{a}_{ij}=\sum _{j=p_1}^{p_2}\sum _{i=k_1}^{k_2}{a}_{ij}$
3. $\sum _{i=k_1}^{k_2}(a_i+b_i)=\sum _{i=k_1}^{k_2}{a}_i+\sum _{i=k_1}^{k_2}{b}_i$
4. $\sum _{i=k_1}^{k_2}z\cdot a_i=z\cdot \sum _{i=k_1}^{k_2}{a}_i$

Прыклады

1. Сума арыфметычнай прагрэсіі:

   $\sum _{i=0}^n(a_0+b\cdot i)=(n+1)\frac{a_0+a_n}{2}$

2. Сума геаметрычнай прагрэсіі:

   $\sum _{i=0}^n{a}_0\cdot b^i=a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

3. $\sum _{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i=\frac{p}{p-1}(1-\frac{1}{p^{n+1}}),p\ne 1,n\ge 0$

1. $\sum _{i=0}^{n}i{p}^i=\frac{n{p}^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1{)}^2},p\ne 1$

1. $\sum _{i=0}^n{p}^i=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1,p\ne 1$

1. • Пры $p=10$ атрымліваем $\sum _{i=0}^{n}10^i=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^i)+n+1$, а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:
     $1=9\cdot 0+1,11=9\cdot 1+2,111=9\cdot 12+3,1111=9\cdot 123+4,11111=9\cdot 1234+5$

Нявызначаная сума

Нявызначанай сумай a_i по i называецца такая функцыя f(i), якая абазначаецца $\sum _i^{}{a}_i$, что $\mathrm{\forall }if(i+1)-f(i)=a_{i+1}$.

Формула Ньютана — Лейбніца

Шаблон:Асноўны артыкул Калі знайдзена нявызначаная сума $\sum _i^{}{a}_i=f(i)$, тады $\sum _{i=k}^N{a}_i=f(N+1)-f(k)$. 

Паходжанне слова

Лацінскае слова summa перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З XV стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з'яўляецца дзеяслоў «падсумоўваць» (1489 год).

Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў рускай, sum ў англійскай, somme ў французскай.

Адмысловы сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў Эйлер у 1755 годзе. У якасці варыянта выкарыстоўвалася грэчаская літара «сігма» Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі інтэгравання.

Гл. таксама

• Кантрольная сума

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн

Шаблон:Вонкавыя спасылкі