Функцыя размеркавання

Прыклады непарыўных справа функцый размеркавання. У выпадку вызначэння функцый як непарыўных злева, выкалатыя і зафарбаваныя пункты ў месцах разрыву будуць памяняныя месцамі.

Функцыя размеркавання выпадковай велічыні — гэта функцыя, якая апісвае імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, меншае за некаторы рэчаісны лік. Функцыя размеркавання задае размеркаванне выпадковай велічыні.

Азначэнне

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя $F_{\xi }:ℝ\to ℝ$, якая вызначаецца праз роўнасцьШаблон:Rp $$F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\mathrm{\forall }x\in ℝ.$$

У некаторых крыніцах функцыя размеркавання вызначаецца з іншым знакам: $$F_{\xi }(x):=P(\xi \le x),\mathrm{\forall }x\in ℝ.$$ Такое вызначэнне ўплывае на ўласцівасць непарыўнасці, робячы функцыю непарыўнай справа, а не злева (гл. § Уласцівасці).

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Уласцівасці

Для функцыі размеркавання $F$ кожнай выпадковай велічыні $\xi$ справядлівыя наступныя ўласцівасціШаблон:Rp:

1. Шаблон:Нп5. Калі $x_1\le x_2$, то $F(x_1)\le F(x_2)$.
2. Шаблон:Нп5. Маюць месца няроўнасці $0\le F(x)\le 1$, прычым $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0,$$$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1;$$
3. Непарыўнасць злева. Для кожнага $x_0\in ℝ$ выконваецца $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }F(x)=F(x_0).$$

Для кожнай функцыі $F:ℝ\to [0,1]$, якая адпавядае ўмовам манатоннасці, абмежаванасці і непарыўнасці злева, існуюць імавернасная прастора $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ і выпадковая велічыня $\xi :\mathrm{\Omega }\to ℝ$, у якой функцыя размеркавання $F_{\xi }$ супадае з $F$. Іншымі словамі, кожная такая функцыя і ёсць функцыяй размеркавання для некаторай выпадковай велічыні.

Часта функцыя размеркавання задаецца праз роўнасць $F_{\xi }(x):=P(\xi \le x),\mathrm{\forall }x\in ℝ$. У такім выпадку для яе характэрна ўласцівасць непарыўнасці справа, а не злева.

Доказы ўласцівасцей

Доказ манатоннасці

Няхай $x_1\le x_2$. Тады $(-\mathrm{\infty },x_1)\subset (-\mathrm{\infty },x_2)$, і таму $${\xi }^{-1}(-\mathrm{\infty },x_1)\subset {\xi }^{-1}(-\mathrm{\infty },x_2),$$ гэта значыць $(\xi <x_1)\subset (\xi <x_2)$.

Карыстаючыся манатоннасцю імавернасці, атрымліваем $$F(x_1)=P(\xi <x_1)\le P(\xi <x_2)=F(x_2).$$

Доказ абмежаванасці

Няроўнасць $0\le F(x)\le 1$ відавочна вынікае з $0\le P(\xi <x)\le 1$.

Разгледзім улучэнні $(-\mathrm{\infty },-1)\supset (-\mathrm{\infty },-2)\supset \dots$. Заўважым, што $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-\mathrm{\infty },-n)=\varnothing$. Акрамя таго, $${\xi }^{-1}(-\mathrm{\infty },-1)\supset {\xi }^{-1}(-\mathrm{\infty },-2)\supset \dots ,$$ $$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }^{-1}(-\mathrm{\infty },-n)={\xi }^{-1}(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-\mathrm{\infty },-n))={\xi }^{-1}(\varnothing )=\varnothing .$$ Па аксіёме непарыўнасці імавернасці атрымліваем $$\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }P({\xi }^{-1}(-\mathrm{\infty },-n))=0$$ для $n\in \mathbb{Z}$. Няхай цяпер $x\in ℝ$ імкнецца да $-\mathrm{\infty }$. З манатоннасці функцыі размеркавання вынікае $F([x])\le F(x)\le F([x]+1).$ Калі $x\to -\mathrm{\infty }$, абедзве крайнія часткі няроўнасці імкнуцца да нуля. Карыстаючыся Шаблон:Нп5, атрымліваем $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0.$$

Прадставім $ℝ$ як суму $(-\mathrm{\infty },0)+[0,1)+[1,2)+\dots$ і, скарыстаўшы злічоную адытыўнасць, атрымаем $$1=P_{\xi }(ℝ)=P_{\xi }((-\mathrm{\infty },0))+\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{P}_{\xi }([k,k+1))=$$ $$=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(P_{\xi }((-\mathrm{\infty },0))+\sum _{k=0}^{n-1}{P}_{\xi }([k,k+1)))=$$ $$=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{P}_{\xi }((-\mathrm{\infty },0)+[0,1)+[1,2)+\dots +[n-1,n))=$$ $$=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{P}_{\xi }((-\mathrm{\infty },n))=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(n)$$ для $n\in \mathbb{Z}$. Доказ для $x\in ℝ$ праводзіцца аналагічна папярэдняму выпадку праз тэарэму аб заціснутай функцыі.

Доказ непарыўнасці злева

Возьмем адвольную нарастальную паслядоўнасць рэчаісных лікаў $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, якая збягаецца да $x_0$. Існаванне Шаблон:Нп5 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }F(x)$ вынікае з манатоннасці $F$. Пакажам, што гэты ліміт роўны $F(x_0)$.

Заўважым, што $\varnothing =\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[x_n,x_0)$ і $[x_n,x_0)\supset [x_{n+1},x_0)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Карыстаючыся аксіёмамі непарыўнасці і адытыўнасцю імавернасці, атрымліваем

$0=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{P}_{\xi }([x_n,x_0))=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{P}_{\xi }((-\mathrm{\infty },x_0)\setminus ((-\mathrm{\infty },x_n))=$
$=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(P_{\xi }((-\mathrm{\infty },x_0))-P_{\xi }((-\mathrm{\infty },x_n)))=$
$=F(x_0)-\underset{x_n\to x_0}{\lim }F(x_n).$
Адсюль вынікае $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }F(x)=F(x_0)$.

Гл. таксама

• Умоўная функцыя размеркавання
• Функцыя імавернасці
• Шчыльнасць імавернасці