Сігма-алгебра

σ-алгебра — алгебра мностваў, замкнутая адносна аперацыі злічальнага аб’яднання. Паняцце σ-алгебры мае важнае значэнне для тэорыі імавернасцей, дзе выступае адным з элементаў імавернаснай прасторы.

Азначэнне

Алгебра $𝒜$ падмностваў мноства $\mathrm{\Omega }$ называецца σ-алгебрай, калі для кожнай злічонай сям’і $\{A_n|n\in \mathbb{N}\},A_n\in 𝒜$ справядлівае адно з судачыненняўШаблон:Rp:

Карыстаючыся Шаблон:Нп5, можна паказаць, што са злічонага аб’яднання вынікае перасячэнне, і наадварот, з перасячэння вынікае аб’яднанне. Таму толькі аднаго з гэтых судачыненняў дастаткова патрабаваць для задання σ-алгебры.

Самая маленькая сярод усіх магчымых σ-алгебраў, што змяшчаюць усе Шаблон:Нп5 тапалагічнай прасторы, называецца сігма-алгебрай барэлеўскіх мностваў $ℬ$Шаблон:Rp.

Неэквівалентнасць азначэнню алгебры мностваў

Не ўсе алгебры мностваў адпавядаюць азначэнню σ-алгебрыШаблон:Rp. Для доказу дастаткова прывесці прыклад такой алгебры.

Няхай $\mathrm{\Omega }=ℝ$ мноства рэчаісных лікаў. Праз $𝒜$ пазначым мноства ўсіх тых падмностваў $ℝ$, якія з’яўляюцца канечнымі аб’яднаннямі Шаблон:Нп5 $ℝ$ (у тым ліку аднапунктавых і $\varnothing$). Можна паказаць, што калі $A\in 𝒜$, то і яго дадатак $\bar{A}\in 𝒜$ (дадатак канечнага аб’яднання звязных мностваў з’яўляецца канечным аб’яданнем звязных мностваў). Відавочна, што калі $A\in 𝒜$ і $B\in 𝒜$, то $A\cup B\in 𝒜$. Такім чынам, $𝒜$ — алгебра мностваў.

Цяпер пакажам, што $𝒜$ — не σ-алгебра. Мноства рацыянальных лікаў $\mathbb{Q}$ не належыць $𝒜$, бо яго немагчыма запісаць у выглядзе канечнага аб’яднання звязаных мностваў. Пры гэтым кожнаму рацыянальнаму ліку $q$ адпавядае аднаэлементнае звязнае мноства $\{q\}\in 𝒜$. Вядома, што $\mathbb{Q}$ — злічальнае мноства, то бок яго можна прадставіць як $\bigcup _{i\in \mathbb{N}}\{q_i\}$, дзе кожнае $\{q_i\}\in 𝒜$, але само аб’яднанне не належыць $𝒜$. Такім чынам, парушаецца ўласцівасць σ-алгебры быць замкнутай адносна злічальнага аб’яднання, а значыць $𝒜$ — не σ-алгебра.