Умоўная імавернасць

Умоўная імавернасць — імавернасць здзяйснення пэўнай выпадковай падзеі пры ўмове таго, што некаторая іншая падзея здзейснілася.

Азначэнне

Ілюстрацыя ўмоўнай імавернасці праз Шаблон:Нп5. Імавернасць P(A) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52. Пры гэтым умоўная імавернасць P(A|BШаблон:Sub) = 1, P(A|BШаблон:Sub) = 0.12 ÷ (0.12 + 0.04) = 0.75 і P(A|BШаблон:Sub) = 0.

Няхай для некаторай падзеі $B$ выконваецца $P(B)>0$. Умоўнай імавернасцю $P(A|B)$ падзеі $B$ пры ўмове, што адбылася падзея $B$ (карацей «пры ўмове $B$»), называецца дзельШаблон:Rp

$$P(A|B):=\frac{P(AB)}{P(B)}.$$

Часам умоўную імавернасць $P(A|B)$ пазначаюць як $P_B(A)$.

Адпаведнасць аксіёмам Калмагорава

Няхай $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ — імавернасная прастора, а $B\in 𝒜$ — падзея з дадатнай імавернасцю. Умоўная імавернасць $P(A|B)$ вызначае новую імавернасную прастору $(B,{𝒜}_B,P_B)$, дзе σ-алгебра ${𝒜}_B:=\{C|\mathrm{\exists }A\in 𝒜:C=AB\}.$ Такая імавернасная прастора адпавядае аксіёмам тэорыі імавернасцейШаблон:Rp.

Доказ адпаведнасці

Пакажам што выконваюцца аксіёмы неадмоўнасці і нармаванасці:

$$P(C|B)=P(AB|B)=\frac{P(ABB)}{P(B)}=\frac{P(AB)}{P(B)}\ge 0;$$ $$P_B(B)=\frac{P(BB)}{P(B)}=1.$$

Дакажам выкананне аксіёмы адытыўнасці. Няхай $C_1,C_2\in {𝒜}_B$ і $C_1{C}_2=\varnothing$. Існуюць $A_1,A_2$ такія, што $C_1=A_{1}B,C_2=A_{2}B$. Маем

$$P(C_1+C_2|B)=\frac{P((C_1+C_2)B)}{P(B)}=\frac{P(A_{1}BB+A_{2}BB)}{P(B)}=$$ $$=\frac{P(A_{1}B+A_{2}B)}{P(B)}=P(C_1|B)+P(C_2|B).$$

Возьмем паслядоўнасць $C_1\supset C_2\supset \dots$, для якой $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n=\varnothing$, дзе ўсе $C_n\in {𝒜}_B$, г.зн. існуюць $A_n\in 𝒜$, такія, што $C_n=A_{n}B$. Адсюль маем

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(C_n|B)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(A_{n}B)}{P(B)}=\frac{1}{P(B)}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(A_{n}B)=0.$$

Асноўныя палажэнні з умоўнай імавернасцю

Умоўная імавернасць выкарыстоўваецца ў шэрагу важных для тэорыі імавернасцей палажэнняў.

Тэарэма множання імавернасцей

Шаблон:Main Дамнажаючы абодва бакі ў азначэнні ўмоўнай імавернасці атрымліваем формулу для здабытку падзей $$P(AB)=P(A|B)P(B).$$ Гэтую роўнасць называюць тэарэмай множання імавернасцейШаблон:Rp. Існуе таксама яе версія для канечнага мноства падзей $A_1,A_2,\dots ,A_n$, для якіх выконваецца няроўнасць $P(A_1{A}_2\dots A_{n-1})>0$:

$$P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)P(A_n|A_1{A}_2\dots A_{n-1}).$$

Формула поўнай імавернасці

Шаблон:Main Калі $\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$ — поўная група падзей і $P(A_j)>0$ для ўсіх $j=1,2,\dots ,n$, то для кожнай падзеі $B$ справядліва роўнасць

$$P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k).$$

У формуле поўнай імавернасці падзеі $A_1,A_2,\dots ,A_n$ завуцца гіпотэзамі. Імавернасць $P(B|A_k)$ завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць $B$ пры выкананні гіпотэзы $A_k$»Шаблон:Rp.

Тэарэма Баеса

Шаблон:Main Калі $\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$ — поўная група падзей і ўсе $P(A_k)>0$, а $B$ — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, тоШаблон:Rp $$P(A_k|B)=\frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}.$$

Гл. таксама

• Умоўнае размеркаванне імавернасцей