Нармальнае размеркаванне

Шаблон:Пра Шаблон:Размеркаванне імавернасцей Шаблон:Тэорыя імавернасцей Нарма́льнае размеркава́нне (або размеркаванне Га́уса) — размеркаванне імавернасцей, графік шчыльнасці якога нагадвае звон з пікам пасярэдзіне і сіметрычнымі бакамі. З дапамогай нармальнага размеркавання часта мадэлююць велічыні, сканцэнтраваныя вакол аднаго значэння, хаця гэта не адзінае размеркаванне падобнага тыпу.

Нармальнае размеркаванне выконвае важную функцыю ў статыстыцы і іншых навуках, бо часта паўстае ва ўсялякіх прыродных працэсах. Напрыклад, у фізіцы з дапамогай нармальнага размеркавання мадэлюецца хібнасць мерання. У статыстыцы звычайна робіцца дапушчэнне, што памылкі Шаблон:Нп5 нармальна размеркаваныя.

Цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што пры выкананні некаторых умоў размеркаванне Шаблон:Нп5 збягаецца да нармальнага размеркавання пры павелічэнні выбаркі. Таму фізічныя велічыні, якія атрымліваюцца як сярэдняе ці сума шэрагу незалежных працэсаў, часта маюць размеркаванні, блізкія да нармальнага.

Часам размеркаванне Гауса называюць звонападобнай крывой (Шаблон:Lang-en) праз выгляд графіка яго шчыльнасці, хаця шмат іншых размеркаванняў маюць графік шчыльнасці ў выглядзе звана (напрыклад, размеркаванні Кашы, Ст’юдэнта, Шаблон:Нп5).

Азначэнне

Кажучы строга, нармальнае размеркаванне — размеркаванне імавернасцей, чыя функцыя шчыльнасці імавернасцей супадае з функцыяй ГаусаШаблон:Rp:

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},$

дзе параметр Шаблон:Math — матэматычнае спадзяванне, медыяна і мода размеркавання, а параметр Шаблон:Math — стандартнае адхіленне (Шаблон:Math — дысперсія) размеркавання. Пры павелічэнні $\sigma$, графік шчыльнасці нармальнага размеркавання расцягваецца ў гарызантальным кірункуШаблон:Rp.

Такім чынам, аднамернае нармальнае размеркаванне з’яўляецца двухпараметрычным сямействам размеркаванняў.

Стандартнае нармальнае размеркаванне

У выпадку, калі матэматычнае спадзяванне роўнае 0, а дысперсія — 1, нармальнае размеркаванне называецца стандартным нармальным размеркаваннем. Ягоная шчыльнасць апісваецца формулай

$\phi (z)=\frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi }},$

прымае найбольшае значэнне $1/\sqrt{2\pi }$ у пункце $z=0$ і мае Шаблон:Нп5 ў $z=+1$ і $z=-1$.

Хаця такое азначэнне стандартнага нармальнага размеркавання найбольш распаўсюджана, некаторыя аўтары ўжываюць гэты тэрмін для апісання іншых асобных выпадкаў размеркавання Гауса. Напрыклад, Гаус стандартным нармальным называў размеркаванне са шчыльнасцю

$\phi (z)=\frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi }},$

дысперсія якога роўная 1/2. Шаблон:Нп5 увёў азначэнне

$\phi (z)=e^{-\pi z^2},$

што мае простую форму запісу і дысперсію ${\sigma }^2=1/(2\pi ).$

Функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання звычайна абазначаецца грэчаскай літарай $\mathrm{\Phi }$ (фі) і мае выгляд інтэграла

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2/2}dt.$

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне

Каб даказаць, што матэматычнае спадзяванне нармальнага размеркавання роўнае $\mu$, скарыстаемсяШаблон:Rp Шаблон:Нп5 $t=(x-\mu )/\sigma$ і Шаблон:Нп5 $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\lambda t^2}dt=\sqrt{\frac{\pi }{\lambda }}:$

$𝔼[x]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\mu +t\sigma )e^{\frac{-t^2}{2}}dt=$

$=\frac{\mu }{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\frac{-t^2}{2}}dt+\frac{\sigma }{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t{e}^{\frac{-t^2}{2}}dt=$

$=\frac{\mu \sqrt{2\pi }}{\sqrt{2\pi }}+\frac{\sigma }{\sqrt{2\pi }}(-e^{\frac{-t^2}{2}}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}=\mu .$

Дысперсія

Дысперсію нармальнага размеркавання можна знайсці наступным чынам:

$Var(X)=𝔼[X^2]-(𝔼[X]{)}^2$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx-{\mu }^2$

$=\frac{\sqrt{2}\sigma }{\sigma \sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\sqrt{2}\sigma t+\mu {)}^2{e}^{-t^2}dt-{\mu }^2$ — падстаноўка $t=\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }$

$=\frac{1}{\sqrt{\pi }}(2{\sigma }^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^2{e}^{-t^2}dt+2\sqrt{2}\sigma \mu \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t{e}^{-t^2}dt+{\mu }^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt)-{\mu }^2$

$=\frac{1}{\sqrt{\pi }}(2{\sigma }^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^2{e}^{-t^2}dt+2\sqrt{2}\sigma \mu {[-\frac{1}{2}{e}^{-t^2}]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}+{\mu }^2\sqrt{\pi })-{\mu }^2$

$=\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^2{e}^{-t^2}dt$

$=\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(-\frac{1}{2}t)\cdot (-2t{e}^{-t^2})dt$

$=\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{\pi }}({[-\frac{t}{2}{e}^{-t^2}]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt)$ — Шаблон:Нп5

$=\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{\pi }}\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

$={\sigma }^2.$